極限値(読み)きょくげんち(英語表記)limit value

ブリタニカ国際大百科事典 小項目事典の解説

極限値
きょくげんち
limit value

数列および関数について使われる。
(1) 数列の極限値 数列{an}が与えられたとする。いまある実数αがあって,n をどんどん大きくすれば,誤差|an-α|をいくらでも小さくできるとき,数列{an}はαに収束するといい,このαを数列{an}の極限値という。この条件は,どんなに小さい正の数εに対しても,n を十分に大きくとれば,mn である am が|am-α|<εを満足するようにできること,すなわち ammn)がαのε近傍に入ってしまうことを意味する。
(2) 関数の極限値 数列{an}は自然数 nn=1,2,…,p,…)の集合を定義域とする関数 yf(n) と考えられるから,数列の極限値の定義を拡張して,連続変換に関する一般の関数の極限値が定義される。関数を f(x) とする。いま x がかぎりなく一定値 a に近づくとき,f(x) がかぎりなく一定の値αに近づけば,αは,xa に近づくときの f(x) の極限値であるといわれ,記号を用いて f(x)→α(xa) または で表される。数列の場合にならって定義すれば次のとおりである。すなわち,正の数εをどんなに小さくとっても,それに対しての正の数δを適当にとれば,0<|xa|<δならば|f(x)α|<εとなるとき,f(x) は,xa においてαに収束するといい,このαを f(x) の極限値という。ここでは,xa にはならないという立場であるが,xa を入れる立場もある。
(3) 上記を一般化して,位相空間内の極限値,ネットに関するムーア・スミスの極限値,フィルターの極限値などが定義されている。

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世界大百科事典内の極限値の言及

【極限】より

…数列を考えると,この数列の第n項は,nが限りなく大きくなるにつれて0に限りなく近づく。一般に一つの無限数列{ann=1,2,……}の第nanが,nを限りなく大きくするときある一定の数Aに限りなく近づくとき,この数列は収束するといい,Aをこの数列の極限値と呼ぶ。記号で,で表す。…

※「極限値」について言及している用語解説の一部を掲載しています。

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