極限値（読み）きょくげんち（英語表記）limit value

ブリタニカ国際大百科事典 小項目事典

極限値
きょくげんち
limit value

数列および関数について使われる。
(1) 数列の極限値　数列｛a_n｝が与えられたとする。いまある実数αがあって，n をどんどん大きくすれば，誤差｜a_n－α｜をいくらでも小さくできるとき，数列｛a_n｝はαに収束するといい，このαを数列｛a_n｝の極限値という。この条件は，どんなに小さい正の数εに対しても，n を十分に大きくとれば，m≧n である a_m が｜a_m－α｜＜εを満足するようにできること，すなわち a_m（m≧n）がαのε近傍に入ってしまうことを意味する。
(2) 関数の極限値　数列｛a_n｝は自然数 n（n＝1，2，…，p，…）の集合を定義域とする関数 y＝f(n) と考えられるから，数列の極限値の定義を拡張して，連続変換に関する一般の関数の極限値が定義される。関数を f(x) とする。いま x がかぎりなく一定値 a に近づくとき，f(x) がかぎりなく一定の値αに近づけば，αは，x が a に近づくときの f(x) の極限値であるといわれ，記号を用いて f(x)→α(x→a) または で表される。数列の場合にならって定義すれば次のとおりである。すなわち，正の数εをどんなに小さくとっても，それに対しての正の数δを適当にとれば，0＜｜x－a｜＜δならば｜f(x)α｜＜εとなるとき，f(x) は，x＝a においてαに収束するといい，このαを f(x) の極限値という。ここでは，x＝a にはならないという立場であるが，x＝a を入れる立場もある。
(3) 上記を一般化して，位相空間内の極限値，ネットに関するムーア・スミスの極限値，フィルターの極限値などが定義されている。

出典　ブリタニカ国際大百科事典 小項目事典

精選版 日本国語大辞典

きょくげん‐ち【極限値】

〘名〙

① 数列｛a_n｝で、ｎが限りなく大きくなるとき、a_n が限りなく近づく値。極限。

※処女懐胎（1947）〈石川淳〉五「無限級数が極限値に収斂するやうなぐあひに、生活力が自殺に集中してしまふ」

② 関数で、独立変数の値が、ある一定の値に限りなく近づくとき、それに対応して関数値が限りなく近づく値。極限。

出典　精選版 日本国語大辞典

デジタル大辞泉

きょくげん‐ち【極限値】

⇒極限2

出典　小学館

世界大百科事典内の極限値の言及

【極限】より

…数列を考えると，この数列の第n項は，nが限りなく大きくなるにつれて0に限りなく近づく。一般に一つの無限数列｛a_n｜n＝1,2，……｝の第n項a_nが，nを限りなく大きくするときある一定の数Aに限りなく近づくとき，この数列は収束するといい，Aをこの数列の極限値と呼ぶ。記号で，で表す。…

※「極限値」について言及している用語解説の一部を掲載しています。

出典｜株式会社平凡社