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半順序集合 はんじゅんじょしゅうごうsemiordered set

ブリタニカ国際大百科事典 小項目事典の解説

半順序集合
はんじゅんじょしゅうごう
semiordered set

単に順序集合ということもある。一つの集合 M の元の間に関係 R があって,次の条件を満たすものを順序という。
(1) xRx   (反射律) k
(2) xRy で,yRz であれば,xRz   (推移律)
(3) xRy で,yRx であれば,xy   (反対称律)
もし集合 M が実数の集合であれば,M の任意の2つの元の間に xy が成り立って,上の3つの条件を満たしている。この場合には,任意の xyxyyx の関係がある。このような順序を全順序という。もし集合 M が,ある全体集合 U の部分集合の集合であれば,M の任意の2つの元の間に ABBA のどちらかが成り立つとはかぎらない。しかし,⊆ という関係は上の3つの条件を満たしている。このような順序全順序と区別するため半順序といい,半順序の定義されている集合を半順序集合というのである。もっとも,数学の習慣では,全順序とかぎらない順序という程度に使うことも多い。この場合は,単なる順序集合と同義になる。

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