半順序集合（読み）はんじゅんじょしゅうごう（英語表記）semiordered set

ブリタニカ国際大百科事典 小項目事典

半順序集合
はんじゅんじょしゅうごう
semiordered set

単に順序集合ということもある。一つの集合 M の元の間に関係 R があって，次の条件を満たすものを順序という。
(1) xRx 　 (反射律) k
(2) xRy で，yRz であれば，xRz 　 (推移律)
(3) xRy で，yRx であれば，x＝y 　 (反対称律)
もし集合 M が実数の集合であれば，M の任意の2つの元の間に x≦y が成り立って，上の3つの条件を満たしている。この場合には，任意の x と y に x≦y か y≦x の関係がある。このような順序を全順序という。もし集合 M が，ある全体集合 U の部分集合の集合であれば，M の任意の2つの元の間に A⊆B か B⊆A のどちらかが成り立つとはかぎらない。しかし，⊆ という関係は上の3つの条件を満たしている。このような順序を全順序と区別するため半順序といい，半順序の定義されている集合を半順序集合というのである。もっとも，数学の習慣では，全順序とかぎらない順序という程度に使うことも多い。この場合は，単なる順序集合と同義になる。

出典　ブリタニカ国際大百科事典 小項目事典