順序集合(読み)じゅんじょしゅうごう(その他表記)ordered set

改訂新版 世界大百科事典 「順序集合」の意味・わかりやすい解説

順序集合 (じゅんじょしゅうごう)
ordered set

実数の大小関係≦は次の性質をもっている。(1)aa反射律),(2)abbcならば,ac推移律),(3)abbaならば,ab反対称律)。これを一般化して,集合Mに関係≦が定まっていて,上記(1)(2)(3)の性質をもつとき,Mは順序集合であるという。一つの集合Sを固定して,Sの部分集合ABについて,ABのとき,ABと決めれば,Sの部分集合全体の集合Tは順序集合になる。しかし,例えばδの相異なる二元stを取って,A={s},B={t}とすれば,ABでもBAでもない。すなわち,ABTについて,ABBAのどちらも成立しないことがある。実数の大小関係のように,かってな二元abを取ってきたとき,abbaのどちらかが成立する順序集合を全順序集合と呼ぶ。順序集合Mの部分集合Nについて,aMNの上界であるとは,すべてのbNについて,baが成立することである。部分集合Nに上界があるとき,Nは上に有界であるという。Nの上界全体の集合N′に最小元c(すべてのaN′について,ca)があれば,それをNの上限と呼ぶ。上のbaabと置きかえて,同様に下界,下に有界,下限が定義される。
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関連語 BA AB 丸山

ブリタニカ国際大百科事典 小項目事典 「順序集合」の意味・わかりやすい解説

順序集合
じゅんじょしゅうごう

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