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無限遠直線 むげんえんちょくせんline at infinity

ブリタニカ国際大百科事典 小項目事典の解説

無限遠直線
むげんえんちょくせん
line at infinity

平面幾何学において,同じ平面上の2本の平行な直線は,無限に遠いところにある1つの点,すなわち無限遠点 point at infinityで交わると考えたほうが便利なことがある。これは,直線の上には1つずつ無限遠点があり,1つの平面上で,互いに平行な直線はすべて同じ1つの無限遠点を共有すると考えることである。この場合,同じ平面上で,これらの無限遠点は一直線に並んでいると考えると都合がよい。このとき,この直線を無限遠直線という。このように考えれば,相異なる直線はいつもただ1点を共有することになる。これが射影幾何学の考えである。

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世界大百科事典内の無限遠直線の言及

【射影幾何学】より

…空間の各直線lに対し,無限遠点と呼ぶ1点lを想像し,直線l,l′が平行ならばll,そうでなければllと約束する。そして,平面αにその上の直線に対する無限遠点をすべてつけ加えて,これをで表し,上にある無限遠点全体で一つの直線(無限遠直線)をつくると考える。このようにすれば,点Oからの中心射影で,m上の点は上の無限遠点にうつり,上の無限遠点はn上の点にうつって,上の点と上の点が1対1に対応し,また上の直線と上の直線が1対1に対応する。…

【無限遠点】より

…それでTを通る各直線lに対し,その上の無限の遠くに新しい1点lをつくり,この点がlと平行なSの直径の両端であるC上の対心点の組に対応するとすれば,すべてのlを含めたαはS上の対心点の組全体の集合,したがってS上の対心点のおのおのをはり合わせてできる曲面(これを射影平面という)と同一視でき,閉じた面となる。llの方向の無限遠点と呼び,すべての方向の無限遠点は新しい一つの直線をつくると考えて,これを無限遠直線と呼ぶ。平面上の平行な2直線はその方向の無限遠点で交わると考えれば,平面上の相異なる2直線はつねに1点で交わることになり,点や直線の結合的性質が統一的に研究でき便利である。…

※「無限遠直線」について言及している用語解説の一部を掲載しています。

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