コーシーの条件（読み）コーシーのじょうけん（その他表記）Cauchy's condition

ブリタニカ国際大百科事典 小項目事典

コーシーの条件
コーシーのじょうけん
Cauchy's condition

無限数列 {a_n} が有限の極限値をもつ (収束する) ための必要十分な条件は， すなわち，任意の正の数 ε に対して，自然数 n₀ を適当に定め，m≧n₀，n≧n₀ なる任意の m ，n について，必ず ｜a_m－a_n｜＜ε となるようにできることである。これを数列の収束に関するコーシーの条件という。またこの条件を満足する数列 {a_n} をコーシー列 (基本列ともいう) という。これは，a_n がある極限 a に近いというのではなく，a_n 相互間の距離が近くなるということであって，{a_n} の内部で条件づけられている点に特徴がある。したがってまた，無限級数 Σa_n が収束するための必要十分条件は，任意の正の数 ε に対して，自然数 n₀ を適当に定めれば，m≧n≧n₀ について，必ず ｜a_n＋a_n-1＋…＋a_m｜＜ε が成り立つようにできることである。これを級数の収束に関するコーシーの条件という。

出典　ブリタニカ国際大百科事典 小項目事典