ラプラス展開(読み)ラプラスてんかい(英語表記)Laplace's development

ブリタニカ国際大百科事典 小項目事典の解説

ラプラス展開
ラプラスてんかい
Laplace's development

行列式は普通1つの行または1つの列に沿って展開される。すなわち行列式の値は,1つの行または列の各要素に,その余因数を掛けたものの和に等しい。これに対して P.ラプラスは,行列式の値を,小行列式とそれに対応する小行列式の積に,適当な符号をつけて加えたものとして与える公式を見出した。この公式をラプラス展開という。

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日本大百科全書(ニッポニカ)の解説

ラプラス展開
らぷらすてんかい
Laplace's expansion

行列式を、より小さい行列式の計算で求める方法にラプラス展開がある。
 A=(aij)をn次正方行列とする。1≦i1i2<……irnと1≦j1j2<……jrnに対し、

のようにr次の正方行列をつくる。これはAn個の行のうちの第i1、第i2…第ir行上と、n個の列のうちの第j1、第j2…第jr列との上にあるaijをそのままの順序で取り出してつくったr次の正方行列である。このような

Ar次の小行列といい、その行列式

Ar次の小行列式という。たとえば

 いま、1、2…nから1≦i1i2<…irnを取り去った残りをi1i2<…<in-rとし、j1j2<…<jrに対しても、同様のものをj1j2<…<jn-rとすると、Aの行列式|A|は次の式で与えられる。

ただし、ここで右辺の和は、i1i2<…<irを固定し(したがってi1in-rも固定され)、1≦j1j2<…<jrnのようなあらゆる組についての総和である。この式をAの行列式の第i1、第i2…第ir行によるラプラス展開という。
 以上の式でj1j2<…<jrを固定し、Σを1≦i1i2<…<irnのようなあらゆる組についての和にした式も成り立ち、第j1、第j2…第jr列によるラプラス展開という。たとえば

r=1のラプラス展開は、それぞれ第i1行、第j1列による行列式の展開式である。[菅野恒雄]

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