可測集合(読み)かそくしゅうごう(その他表記)measurable set

改訂新版 世界大百科事典 「可測集合」の意味・わかりやすい解説

可測集合 (かそくしゅうごう)
measurable set

Rユークリッド空間とする。Rにおける面積体積概念拡張であるルベーグ測度が定義されている集合をルベーグ可測集合という。ルベーグ可測集合の全体をMと書くことにするとMは次の性質をもつ。

(1)空集合φはMに属する。

(2)AMならば,その余集合RAM

(3)A1A2,……,An,……∈Mならばそれ

 らの合併集合A

この三つの性質から次のようなことが導かれる。

(4)全空間RMに属する。

(5)Mに属する集合の合併,差,共通部分を作る演算をたかだか可算無限回行って得られる集合はMに属する。一般の空間Rの部分集合の族Mが上の(1)(2)(3)をみたすならば,M定義域とする測度を定義することができる。このようなMが与えられたとき,これに属する集合を可測集合ということがある。現代の測度論は,このような一般の空間で構成される。
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出典 株式会社平凡社「改訂新版 世界大百科事典」改訂新版 世界大百科事典について 情報

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