無限大無限小（読み）むげんだいむげんしょう（英語表記）infinitum （infinity）, infinitesimal

改訂新版　世界大百科事典

無限大・無限小 (むげんだいむげんしょう)
infinitum （infinity）, infinitesimal

実数全体に，＋∞，－∞と書く新しい二つの要素をつけ加えて，それぞれ正の無限大，負の無限大と名付け，すべての実数aに対して－∞＜a＜＋∞なる大小関係を規約する。＋∞を単に∞と書き，無限大と呼ぶこともある。実数列｛x_n｝があって，n→∞のとき，x_n→∞となるならばx_nは（正の）無限大になるといい，x_n→－∞となるならばx_nは負の無限大になるといい，またx_n→0となるならばx_nは無限小になるという。x_nが正または負の無限大になるならば1/x_nは無限小となる。n→∞のときx_n→∞，y_n→∞であって，しかもx_n/y_n→∞ならばx_nはy_nより高位の無限大であるといい，x_n/y_nとy_n/x_nがともに有界ならば，x_nとy_nとは同位の無限大であるという。n→∞のときx_n→0，y_n→0であって，しかもx_n/y_n→0ならば，x_nはy_nより高位の無限小であるといい，x_n/y_nとy_n/x_nがともに有界ならばx_nとy_nとは同位の無限小であるという。実数値関数f（x）があって，x→a（aは実数でも＋∞あるいは－∞でもよい）のとき，f（x）→∞となるならば，f（x）は無限大になるといい，f（x）→－∞となるならば，f（x）は負の無限大になるといい，また，f（x）→0となるならばf（x）は無限小となるという。x→aのときf（x）→∞，g（x）→∞となる場合に，これらについて高位または同位の無限大という関係が数列の場合と同様に定義され，また，f（x）→0，g（x）→0となる場合に，これらについて高位または同位の無限小という関係も数列の場合と同様に定義される。例えば，x→∞のときe^xはx²より高位の無限大であり，e^xとcosh xとは同位の無限大である。また，x→0のとき1－cos xはxより高位の無限小であり，1－cos xとx²とは同位の無限小である。
執筆者：伊藤 清三

出典　株式会社平凡社「改訂新版　世界大百科事典」