有界（読み）ウカイ（英語表記）bounded

デジタル大辞泉

う‐かい【有界】

《「うがい」とも》仏語。生死流転するものとしてとらえられる世界。欲界・色界・無色界の総称。有涯うがい。

出典　小学館

精選版 日本国語大辞典

う‐かい【有界・有海】

1. 〘 名詞 〙 ( 「うがい」とも ) 仏語。生死流転を免れない三界、すなわち、欲界、色界、無色界。これを海にたとえて「有海」ともいい、また「際限あり」の意から「有涯(うがい)」ともなった。
   1. [初出の実例]「有界(うがい)は秋の月、雲に伴って隠れ易し」(出典：葉子十行本平家（１３Ｃ前）灌頂)
   2. [その他の文献]〔大宝積経‐七〇〕

ゆう‐かいイウ‥【有界】

1. 〘 名詞 〙 数学で、数の集合のどの要素の絶対値も一定の正数を超えないこと。関数のどの値も一定の正数を超えないこと。

出典　精選版 日本国語大辞典

日本大百科全書(ニッポニカ)

有界
ゆうかい
bounded

集合が無限に遠くの要素を含まないことを言い表す術語。次の2通りの用法がある。

　順序集合、すなわち要素の間に大小関係≦の定義されている集合Sにおいて、その一つの部分集合Aに対し、Sのある要素sがあって、Aのどの要素aに対してもa≦sとなるとき、Aは上に有界であるという。このときsはAを上から押さえる、あるいはAの一つの上界であるという。

　また、Sの部分集合Bに対して、Bを下から押さえるSの要素があるとき、Bは下に有界であるという。

　上に有界、かつ下に有界であるような部分集合は、単に有界であるという。

［竹之内脩］

上限と下限

集合Aに上界があるとしても、一般にそのようなもののうちでいちばん小さいものがあるとは限らない（たとえば、x＜ となるような有理数xの集合）。もし、いちばん小さいものがあるときは、それをAの最小上界あるいは上限といい、supAで表す。それがAに属すればAの最大の要素であるが、かならずしもAに属するとは限らない。

　同じように、集合Bが下に有界のとき、もし最大の下界があれば、それをBの最大下界あるいは下限といい、infBで表す。

［竹之内脩］

有向集合と半束

Sの任意の有限集合がつねに上に有界であるとき、上向きの有向集合という。また有限集合がつねに上限を有するとき、上向きの半束という。下向きの有向集合、下向きの半束も同様に定義される。上向きの半束でもあり、下向きの半束でもあるような順序集合を束という。距離空間S内の部分集合Aにおいて、空間内の固定された1点x₀からAの任意の要素xまでの距離d(x,x₀)が有界であるとき、AはSの有界集合であるという。このとき、
　　sup｛d(x,y):x,y∈A｝
をAの直径という。

［竹之内脩］

出典　小学館　日本大百科全書(ニッポニカ)

ブリタニカ国際大百科事典 小項目事典

有界
ゆうかい
bounded

実数の集合 M に対して，集合 M に属する任意の元 x に対して ｜x｜≦A となるような，正の実数 A が存在するとき，集合 M は有界であるという。また，関数 f(x) に対しては，その定義域に属する任意の x に対して，｜f(x)｜≦k となるような正の定数 k が存在するとき，関数 f(x) は有界であるという。

出典　ブリタニカ国際大百科事典 小項目事典

世界大百科事典（旧版）内の有界の言及

【関数解析学】より

…
【バナッハ空間論】
　バナッハ空間Xからバナッハ空間Yの中への作用素Tが，　T(αx＋βy)＝αTx＋βTy　(x,y∈X；α，βは複素数)　を満たすとき，Tを線形作用素という。また正数γが存在して∥Tx∥≦γ∥Tx∥が成り立つときTは有界であるといい，このようなγの下限を∥T∥と書いて，作用素Tのノルムnormという。線形作用素Tが連続，すなわち，を満たすこととTが有界なこととは同等である。…

【上界】より

…aが集合Eの上界であれば，aより大きい数はすべてEの上界である。上界が存在するときEは上に有界boundedであるという。上界が存在しなければ，Eはいくらでも大きい数を含む。…

※「有界」について言及している用語解説の一部を掲載しています。

出典｜株式会社平凡社「世界大百科事典（旧版）」