無限小(読み)むげんしょう(英語表記)infinitesimal

翻訳|infinitesimal

日本大百科全書(ニッポニカ)「無限小」の解説

無限小
むげんしょう
infinitesimal

関数f(x)について、xa(またはxa+0,xa-0,x→∞など)のときf(x)→0となるならば、xaのときf(x)は無限小であるという。

 二つの無限小f(x),g(x)に対して

ならばf(x)はg(x)より高位の無限小であるといい、これをf(x)=o(g(x))と書き表す。また、x=aの近傍でf(x)/g(x)が有界のとき、これをf(x)=O(g(x))と書き表す。記号oOはランダウの記号とよばれている。また、

が存在して0でないとき、f(x)の無限小の位数はnであるという。


であるから、x→0のとき、sin xは1位の無限小である。1-cos xは2位の無限小、log(1+x)は1位の無限小である。

 f(x)がx=aの近傍で定義され、そこでn回微分可能ならば、f(x)のテーラー展開は、

と書くことができる。そして、f(a)=0ならば、xaのときf(x)は無限小であるが、このとき、f(a),f′(a),f″(a),……のうち、初めて0でないものf(k)(a)について、f(x)はk位の無限小となる。

〔例2〕

x→0のとき無限小であるが、二項定理により、

であるから、

となり、これは1位の無限小であることがわかる。

 f(x),g(x)がともに無限小のとき、

を不定形の極限値という。このときf(x),g(x)にテーラーの定理を適用して、極限値を求めることができる。また、ロピタルの定理というのが著名である。

〔例3〕x→0のとき、cosx=1-1/2x2+O(x4)であるから、

[竹之内脩]

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精選版 日本国語大辞典「無限小」の解説

むげん‐しょう ‥セウ【無限小】

〘名〙
① (形動) 限りなく小さいこと。小ささが限りないこと。また、そのさま。
※死霊‐二章(1946‐48)〈埴谷雄高〉「その針の先端のような一点で、無限小の微粒子に化すと同時に」
数学で、変数xの絶対値がどんなに小さな正数よりもなお小さくなる場合の、その変数xの状態のこと。記号 x→0 を用いて表わす。〔数学ニ用ヰル辞ノ英和対訳字書(1889)〕

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百科事典マイペディア「無限小」の解説

無限小【むげんしょう】

複素値関数fが(式1)となるとき,fをaにおける無限小という。2つの無限小f,gに対して,f/gが無限小であるとき,fはgより高位の無限小(gはfより低位の無限小)という。また,f/g(n/)が0でない有限値をとるとき,fはgに関してn位の無限小という。
→関連項目ウォリス

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ブリタニカ国際大百科事典 小項目事典「無限小」の解説

無限小
むげんしょう
infinitesimal

数学において,ある変数が0に収束するとき,その変数は無限小になるといい,無限小になる変数を,単に無限小という。

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デジタル大辞泉「無限小」の解説

むげん‐しょう〔‐セウ〕【無限小】

限りなく小さいこと。
数学で、変数が限りなく零に近づくこと。また、その変数。⇔無限大

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世界大百科事典内の無限小の言及

【無限大・無限小】より

…+∞を単に∞と書き,無限大と呼ぶこともある。実数列{xn}があって,n→∞のとき,xn→∞となるならばxnは(正の)無限大になるといい,xn→-∞となるならばxnは負の無限大になるといい,またxn→0となるならばxnは無限小になるという。xnが正または負の無限大になるならば1/xnは無限小となる。…

※「無限小」について言及している用語解説の一部を掲載しています。

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