ダルブーの定理（読み）ダルブーのていり（その他表記）Darboux's theorem

ブリタニカ国際大百科事典 小項目事典

ダルブーの定理
ダルブーのていり
Darboux's theorem

積分の考え方を厳密な解析的方法で確立するための定理で，J.ダルブーによって証明された。区間 [a，b] で定義された有界な関数を f(x) ，また区間 [a，b] を a＝x₀＜x₁＜…＜x_n-1＜x_n＝b のように部分区間に分割して，その各部分区間の長さを δ_k＝x_k－x_k-1 ，各区間 [x_k-1，x_k] における f(x) の下限および上限をそれぞれ m_k ，M_k とする。このとき，分点の数を限りなく大きくして，δ_k の最大のもの δ(D)＝maxδ_k を限りなく0に近づければ，区間 [a，b] で定義された任意の有界な関数 f(x) に対して，次の2つの総和 (ダルブーの和)
は，それぞれ確定した極限値 l ，L に近づく。また l と L の間には l≦L なる関係が成り立つ。これは，極限の記法によって
と表わすことができる。 l＝L のときが，リーマン積分可能な場合にあたる。

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