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極限 キョクゲン

デジタル大辞泉の解説

きょく‐げん【極限】

物事の限度ぎりぎりのところ。「体力の極限に達する」
数列の番号を限りなく大きくするとき、または関数変数の値をある値に近づけるか正・負の無限大にするときに、数列や関数値が限りなく近づく一定の値。極限値

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百科事典マイペディアの解説

極限【きょくげん】

収束

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世界大百科事典 第2版の解説

きょくげん【極限 limit】

数列を考えると,この数列の第n項は,nが限りなく大きくなるにつれて0に限りなく近づく。一般に一つの無限数列{ann=1,2,……}の第nanが,nを限りなく大きくするときある一定の数Aに限りなく近づくとき,この数列は収束するといい,Aをこの数列の極限値と呼ぶ。記号で,で表す。例えば数列は収束し,極限値はそれぞれ0,1である。収束しない数列を発散数列と呼ぶ。それらのうち,(1)1,2,22,23,……,2nのように,nが大きくなるに従って第nanが限りなく大きくなるとき,この数列は正の無限大に発散するといい,とかく。

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大辞林 第三版の解説

きょくげん【極限】

物事の一番の果て。かぎり。極。 「 -にまで迫る」
〘数〙 〔limit〕 数列あるいは変数が、ある値に限りなく近づくとき、その値のこと。極限値。

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日本大百科全書(ニッポニカ)の解説

極限
きょくげん

数列a1, a2,……, an,……において、添数のnが限りなく大きくなるとき、anの値がある値Aに限りなく近づくならば、anはAに収束するといい、Aをこの数列の極限値limit valueといって、

と書く。また、nを大きくするとき、anが限りなく大きくなるならば、anは正の無限大に発散するといい、

と書く。nを大きくするとき、anが負でその絶対値が限りなく大きくなるならば、anは負の無限大に発散するといい、

と書く。anがある極限値に収束する場合、あるいは正または負の無限大に発散するとき、極限があるといい、そうでないとき、極限がないという。数列の極限はこのように、数列においてnが限りなく大きくなるとき、anがどのようになるかを考えるための概念的な用語である。[竹之内脩]

関数の極限

関数f(x)はx=aの近くで定義されているとする(x=aでは定義されていなくてもかまわない)。このときxが限りなくaに近づくときf(x)の値がどのようになっていくかが極限の問題である。
(1) f(x)はある定まった値bに限りなく近づく。このとき、f(x)はbに収束するといい、bを、xがaに近づいたときのf(x)の極限値といって、

と書く(の(1))。
(2) f(x)はいかなる値をも超えて大きくなっていく。このときf(x)は正の無限大に発散するといって、

と書く(の(2))。f(x)が負の値をとって、その絶対値が限りなく大きくなるとき、f(x)は負の無限大に発散するという。以上が極限のある場合である。次に極限のない場合を考える。
(3) f(x)は有界(関数の値が、ある数を超えず、また、ある数より小さくならないとき、その関数を有界であるという)であるが極限のない場合(の(3))。
(4) f(x)は有界でなく極限のない場合(の(4))。
 なお極限のない場合、aの片側だけをみると極限のある場合もある(の(5)・(6))。左側から近づいたときの極限値があるとき、これを左側極限値といい、

で表す。同様に、右側極限値

が定められる。[竹之内脩]

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