リーマン積分（読み）りーまんせきぶん（英語表記）Riemann integral

日本大百科全書(ニッポニカ)

リーマン積分
りーまんせきぶん
Riemann integral

ドイツの数学者リーマンの与えた定義による積分の方法。

　f(x)は、区間［a,b］で与えられた有界な関数であるとする。さらに、区間［a,b］を分点x₁,x₂,……,x_n-1（x₀=a,x_n=bとする）によって細分し、その分割をΔとする（図の(1)）。そして、各小区間内に一点ξ_k(x_k-1≦ξ_k≦x_k)を任意にとり、次の和S(Δ)を考える。

S(Δ)=f(ξ₁)(x₁-x₀)+f(ξ₂)
(x₂-x₁)+……+f(ξ_n)(x_n-x_n-1)
（図の(2)の長方形の面積の和）
　そして、どのように分割Δをとり、またどのように点ξ_kを各小区間から選んでも、分割Δを構成する小区間の幅を一様に小さくしていけば（すなわちx_k-x_k-1(k=1,2,……,n)の最大のものを0に近づける、このときもちろんn→∞）、S(Δ)がある一定の値Iに近づくとき、f(x)はリーマン積分可能であるといい、

で表す。

　リーマンはこの定義を与えたのち、単調関数はリーマン積分可能であることを示した（1854）。連続関数がリーマン積分可能であることを示したのは、ハイネである（1874）。

［竹之内脩］

[参照項目] | 積分法 | 単調関数

リーマン積分〔図〕

出典　小学館　日本大百科全書(ニッポニカ)

ブリタニカ国際大百科事典 小項目事典

リーマン積分
リーマンせきぶん

「定積分」のページをご覧ください。

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