テーラー展開（読み）てーらーてんかい

日本大百科全書(ニッポニカ)

テーラー展開
てーらーてんかい

関数f(x)がx=aの近傍で定義され、そこでn回微分可能であるならば、f(x)は、

と表される。これをテーラーの定理といい、関数をこの形に書き表すことをテーラー展開という。ここでRnは剰余項といい、次のいろいろな形の表し方がある。以下でξはaとxの間のある数を表す。

(1)ラグランジュの剰余項

(2)コーシーの剰余項

(3)シュレーミルヒの剰余項

ここでmは、1≦m≦nを満たす自然数とする。

(4)積分形

　B・テーラーはこれを1715年に発表した。それはもちろんこのような精密な形ではなかったが、18世紀末から19世紀にかけて、いろいろな数学者によりその形が整えられた。また、とくにa=0の特別な場合をマクローリン展開という。n=1の場合は、別項に述べる「平均値の定理」となる。

　aの近傍でf(x)が無限回微分可能で、

がどのxについてもいえるならば、

という無限級数に表すことができることになる。これをテーラー級数という。テーラー級数に展開することをテーラー展開ということもある。

［竹之内脩］

多変数の場合

たとえば、二変数のときは次の形になる。

ただし、

は、この式を二項定理によって展開して、

としたのち、

とすることを意味する。剰余項についてはここでは省略する。

［竹之内脩］

[参照項目] | テーラー級数 | 平均値の定理

出典　小学館　日本大百科全書(ニッポニカ)

改訂新版　世界大百科事典

テーラー展開 (テーラーてんかい)

→テーラー級数

出典　株式会社平凡社「改訂新版　世界大百科事典」

世界大百科事典（旧版）内のテーラー展開の言及

【テーラー級数】より

…すなわちf(x)は区間Iで(1)のテーラー級数に展開される。このとき(1)をf(x)の(区間Iにおけるaを中心とする)テーラー展開という。テーラー級数(1)において，とくにa＝0の場合をマクローリン級数といい，f(x)が0を中心としてこの形の級数に展開されるとき，その展開をマクローリン展開という。…

【微分】より

…また，aのある近傍で一様に，となるときは，その近傍の中の任意のxに対して，(11)でn→∞とした式，が成立する。この式をf(x)のテーラー展開といい，右辺の無限級数をテーラー級数という。
【微分】
　関数y＝f(x)がx＝aにおいて微分可能ならば，xのaからの変化⊿x→0のとき⊿y/⊿x→f′(a)であるから，　(⊿y/⊿x)－f′(a)＝εとおけば，　⊿y＝f′(a)⊿x＋ε･⊿x　　……(14)　　⊿x→0のときε→0　　……(15)　となる。…

※「テーラー展開」について言及している用語解説の一部を掲載しています。

出典｜株式会社平凡社「世界大百科事典（旧版）」