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二項定理 にこうていりbinomial theorem

ブリタニカ国際大百科事典 小項目事典の解説

二項定理
にこうていり
binomial theorem

αを任意の実数,n を自然数とし,-1<x<1 とすると,2項式 (1+x)α は次のような級数 ( x =0でのマクローリン級数) に展開できるという定理を,一般の二項定理という。
ここに n!=1・2・3・…・n で,n の階乗と読む。上の展開式における右辺の級数を二項級数またはニュートン級数といい,その係数 {α(α-1)…(α-n+1)}/n! を二項係数という。これを と書くことがある。たとえば α=1/2 の場合は,-1≦x≦1 のとき,
である。αが自然数ならば,二項係数は α≧n のときα個から n 個とってできる組合せの個数を表わす。 αCn ,α<n のとき0であるから,(1+x)α=1+αC1xαC2x2+…+αCnxα となる。これが古くから知られている二項定理である。

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デジタル大辞泉の解説

にこう‐ていり〔ニカウ‐〕【二項定理】

代数で、二項式の累乗を、二項の同次式として表す公式。(ab2a2+2abb2など。

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百科事典マイペディアの解説

二項定理【にこうていり】

(a+b)2=a2+2ab+b2,(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3はよく知られている公式であるが,より一般に,二項式のn乗を展開したとき,等式(式1)が成り立つという定理。
→関連項目多項定理

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世界大百科事典 第2版の解説

にこうていり【二項定理 binomial theorem】

二項式abのべき(累乗)の展開は,で与えられる。ただし,ここで係数は二項係数と呼ばれ,である。これを二項定理という。1≦rnに対して,は相異なるn個のものからr個のものをとり出す組合せの数nCrに等しい。 二項係数の間には,次の関係がある。これより,(ab)n-1の展開における第r項と第r+1項との係数の和は,(ab)nの展開における第r+1項の係数に等しいことがわかる。これら二項係数を順々に並べて書いた図形をパスカルの三角形という。

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大辞林 第三版の解説

にこうていり【二項定理】

二項式の累乗を展開した結果を表す公式。(a b 2a 2+2a b b 2, (a b 3a 3+3a 2b +3a b 2b 3, (a b 4a 4+4a 3b +6a 2b 2+4a b 3b 4 など。その各項の係数を二項係数といい、(a b n a n -r b r の係数を n Cr であらわす。n Cr n !/(n -r )!r !

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日本大百科全書(ニッポニカ)の解説

二項定理
にこうていり

二項の代数和のn乗(nは正整数)の展開公式を二項定理という。式で書けば、

となる。各係数

を二項係数といい、これをまた記号で表すこともある。このnCkの数値はn個の異なるものからk個のものを選び出す仕方(選出の順序は考えない)の総数である(組合せの数)。二項定理は組合せ理論と関係し、二項係数についての性質はパスカルB. Pascalによって明らかにされた。そのなかの有名なものにパスカルの三角形がある。これは二項係数間の関係
  nCk-1+nCk=n+1Ck (1≦k≦n)
を三角形状に数を並べて示したものである。
 二項定理における正整数のべき指数nを一般の実数αで置き換えた展開公式を一般二項定理という。この場合、展開項の個数は無限となる。たとえば、

となる。右辺をxの二項級数という。この級数が和をもつ(収束する)ためのxのとりうる値の範囲(収束域)は-1≦x≦1である。
 一般に(1+x)αを二項級数に展開したとき、その収束域はα>0ならば-1≦x≦1となり、また、-1<α<0ならば-1<x≦1となる。α=0またはαが自然数ならばxはどんな数でも収束する。一般二項級数はニュートンI. Newtonによって研究された。[竹内芳男]

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世界大百科事典内の二項定理の言及

【多項定理】より

…ただし,による和は,nを負でない整数p1,……,pnの和np1p2+……+pkに分解するすべての場合にわたるものとする。k=2のとき二項定理という。多項定理の応用例を二つあげる。…

※「二項定理」について言及している用語解説の一部を掲載しています。

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