二項定理（読み）ニコウテイリ

デジタル大辞泉

にこう‐ていり〔ニカウ‐〕【二項定理】

代数で、二項式の累乗を、二項の同次式として表す公式。（a＋b）²＝a²＋2ab＋b²など。

出典　小学館

精選版 日本国語大辞典

にこう‐ていりニカウ‥【二項定理】

1. 〘 名詞 〙 代数学の定理の一つ。二項式のｎ乗（ｎは正の整数） (a+b)ⁿ の展開につき、（ただし、_nC_k=n!/((n-k)!k!)）が成り立つというもの。

出典　精選版 日本国語大辞典

日本大百科全書(ニッポニカ)

二項定理
にこうていり

二項の代数和のn乗（nは正整数）の展開公式を二項定理という。式で書けば、

となる。各係数

を二項係数といい、これをまた記号で表すこともある。この_nC_kの数値はn個の異なるものからk個のものを選び出す仕方（選出の順序は考えない）の総数である（組合せの数）。二項定理は組合せ理論と関係し、二項係数についての性質はパスカルによって明らかにされた。そのなかの有名なものにパスカルの三角形がある。これは二項係数間の関係
　　_nC_k-1+_nC_k=_n+1C_k (1≦k≦n)
を三角形状に数を並べて示したものである。

　二項定理における正整数のべき指数nを一般の実数αで置き換えた展開公式を一般二項定理という。この場合、展開項の個数は無限となる。たとえば、

となる。右辺をxの二項級数という。この級数が和をもつ（収束する）ためのxのとりうる値の範囲（収束域）は-1≦x≦1である。

　一般に(1+x)^αを二項級数に展開したとき、その収束域はα＞0ならば-1≦x≦1となり、また、-1＜α＜0ならば-1＜x≦1となる。α=0またはαが自然数ならばxはどんな数でも収束する。一般二項級数はI・ニュートンによって研究された。

［竹内芳男］

パスカルの三角形

出典　小学館　日本大百科全書(ニッポニカ)

改訂新版　世界大百科事典

二項定理 (にこうていり)
binomial theorem

二項式a＋bのべき（累乗）の展開は，で与えられる。ただし， ここで係数は二項係数と呼ばれ，

である。これを二項定理という。1≦r≦nに対して，は相異なるn個のものからr個のものをとり出す組合せの数_nC_rに等しい。

　二項係数の間には，次の関係がある。これより，（a＋b）ⁿ⁻¹の展開における第r項と第r＋1項との係数の和は，（a＋b）ⁿの展開における第r＋1項の係数に等しいことがわかる。これら二項係数を順々に並べて書いた図形をパスカルの三角形という。
執筆者：杉江 徹

出典　株式会社平凡社「改訂新版　世界大百科事典」

ブリタニカ国際大百科事典 小項目事典

二項定理
にこうていり
binomial theorem

αを任意の実数，n を自然数とし，－1＜x＜1 とすると，2項式 (1＋x)^α は次のような級数 ( x ＝0でのマクローリン級数) に展開できるという定理を，一般の二項定理という。
ここに n!＝1・2・3・…・n で，n の階乗と読む。上の展開式における右辺の級数を二項級数またはニュートン級数といい，その係数 {α(α－1)…(α－n＋1)}/n! を二項係数という。これを と書くことがある。たとえば α＝1/2 の場合は，－1≦x≦1 のとき，
である。αが自然数ならば，二項係数は α≧n のときα個から n 個とってできる組合せの個数を表わす。 _αC_n ，α＜n のとき0であるから，(1＋x)^α＝1＋_αC₁x＋_αC₂x²＋…＋_αC_nx^α となる。これが古くから知られている二項定理である。

出典　ブリタニカ国際大百科事典 小項目事典

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二項定理【にこうていり】

（a＋b）²＝a²＋２ab＋b²，（a＋b）³＝a³＋３a²b＋３ab²＋b³はよく知られている公式であるが，より一般に，二項式のn乗を展開したとき，等式（式１）が成り立つという定理。ここで係数(/n)C(/k)はn！（nの階乗）をk！（n−k）！で除したもので，異なるn個のものからk個をとり出す組合せの数で，二項係数という。→二項分布
→関連項目多項定理

出典　株式会社平凡社

世界大百科事典（旧版）内の二項定理の言及

【多項定理】より

…ただし，による和は，nを負でない整数p₁，……，p_nの和n＝p₁＋p₂＋……＋p_kに分解するすべての場合にわたるものとする。k＝2のとき二項定理という。多項定理の応用例を二つあげる。…

※「二項定理」について言及している用語解説の一部を掲載しています。

出典｜株式会社平凡社「世界大百科事典（旧版）」