ダルブーの定理(読み)ダルブーのていり(英語表記)Darboux's theorem

ブリタニカ国際大百科事典 小項目事典の解説

ダルブーの定理
ダルブーのていり
Darboux's theorem

積分の考え方を厳密な解析的方法で確立するための定理で,J.ダルブーによって証明された。区間 [ab] で定義された有界な関数を f(x) ,また区間 [ab] を ax0x1<…<xn-1xnb のように部分区間に分割して,その各部分区間の長さを δkxkxk-1 ,各区間 [xk-1xk] における f(x) の下限および上限をそれぞれ mkMk とする。このとき,分点の数を限りなく大きくして,δk の最大のもの δ(D)=maxδk を限りなく0に近づければ,区間 [ab] で定義された任意の有界な関数 f(x) に対して,次の2つの総和 (ダルブーの和)
は,それぞれ確定した極限値 lL に近づく。また lL の間には lL なる関係が成り立つ。これは,極限の記法によって
と表わすことができる。 lL のときが,リーマン積分可能な場合にあたる。

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