ディリクレ問題（読み）ディリクレもんだい（その他表記）Dirichlet problem

ブリタニカ国際大百科事典 小項目事典

ディリクレ問題
ディリクレもんだい
Dirichlet problem

P.ディリクレの弟子 G.リーマンが名づけた問題。たとえば，平面または曲面の一部を錫箔でおおい，電池の極をその上の2点に接続して，錫箔の膜に定常電流を流したとき，物理的にはある一定の結果を得るが，これを数学上の問題としてとらえたとき，それは「偏微分方程式の境界値問題」を解くことと同等であり，錫箔内を流れる電流の大きさが，与えられた条件のもとで可能な他の電流に比べて最小になるように，この問題は一つの最小問題であり，また物理実験で一定の結果が得られるように，この最小問題も解をもつというもの。これが完全に証明されたのは，その後数十年を経てからのことである。今日では一般化して，楕円型偏微分方程式の境界値問題で，境界値そのものを指定する問題をディリクレ問題と呼ぶ。

出典　ブリタニカ国際大百科事典 小項目事典

世界大百科事典（旧版）内のディリクレ問題の言及

【境界条件】より

…　また，三次元ユークリッド空間内の領域D上のラプラス方程式，において，φをDの境界∂D上で定義された関数として，∂D上で，　u＝φ　……(2)　あるいは，　∂u/∂n＝φ　……(3)　を満たす解を求める問題は，やはり(2)，あるいは(3)を境界条件とする境界値問題である(∂u/∂nは∂Dの外向き法線方向への解の微分係数を表す)。境界条件が(2)で与えられているとき，これをディリクレ問題Dirichlet problem，(3)で与えられているとき，ノイマン問題Neumann problemという。　なお，境界に限りなく近づくときの解の漸近的挙動を指定して解を求める問題も，やはり境界値問題と呼ばれる。…

【調和関数】より

…この事実に基づいて，二次元の調和関数の理論は関数論の重要な1章をなしている。　ラプラス偏微分方程式に関する境界値問題のうち，次のものをディリクレ問題Dirichlet problemという。領域Dの境界∂Dに関数fを与えたとき，そこでfと一致するようなDの調和関数uを求める。…

【ポテンシャル論】より

…とくにガウスの功績は大きい。　ポテンシャル論の対象の一つとして，ディリクレ問題Dirichlet problemがある。これは，与えられた領域で調和で，境界で与えられた関数と一致するものを求める問題である。…

※「ディリクレ問題」について言及している用語解説の一部を掲載しています。

出典｜株式会社平凡社「世界大百科事典（旧版）」