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偏微分方程式 へんびぶんほうていしきpartial differential equation

ブリタニカ国際大百科事典 小項目事典の解説

偏微分方程式
へんびぶんほうていしき
partial differential equation

未知関数が2個以上の変数の関数であって,未知関数のこれらに関する偏微分係数を含んでいる微分方程式を偏微分方程式という。たとえば,u を未知関数とすれば,
などは偏微分方程式である。

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世界大百科事典 第2版の解説

へんびぶんほうていしき【偏微分方程式 partial differential equation】

三次元空間の各点P(x,y,z)においてベクトルa(P)が与えられていて,その成分が, a(x,y,z),b(x,y,z), c(x,y,z)であるとする。この空間内の曲面, zu(x,y)  ……(1) で,その上の各点P(x,y,z)において与えられたベクトルa(P)が,その曲面に接するようなものを求めるという問題を考える。曲面(1)の上の点P(x,y,u(x,y))におけるその曲面の法線ベクトルは(uxuy, -1)と表され,a(P)が曲線(1)に接するということは,この法線ベクトルがa(P)に垂直なことであるから,その条件は方程式,で与えられ,これを満たす関数u(x,y)を求めれば,初めの問題が解けたことになる。

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大辞林 第三版の解説

へんびぶんほうていしき【偏微分方程式】

未知関数が二個以上の変数の関数であるとき、未知関数の偏導関数を含む方程式。

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日本大百科全書(ニッポニカ)の解説

偏微分方程式
へんびぶんほうていしき
partial differential equation

2個以上の独立変数と未知関数およびその偏導関数の間の関係式を偏微分方程式という。関係式に含まれる偏導関数の最高階数をその方程式の階数という。未知関数とその各偏導関数について一次式であるような偏微分方程式は線形であるといわれ、そうでないとき非線形であるといわれる。また、最高階の偏導関数について一次式であるような偏微分方程式は準線形であるといわれる。独立変数がxyのとき、一階準線形方程式は
  a(x,y,u)ux+b(x,y,u)uy=c(x,y,u)(1)
と書くことができる。ここでuは未知関数で、

であり、abcは既知関数である。同様に、二階線形方程式は
  a(x,y)uxx+2b(x,y)uxy
    +c(x,y)uyy
   =d(x,y)ux+e(x,y)y
    +f(x,y)u+g(x,y)     (2)
と書くことができる。ここでabcなどは既知関数で、

などである。偏微分方程式を恒等的に満たす関数をその方程式の解といい、偏微分方程式の解を求めることをその方程式を解くという。
 一階準線形方程式(1)を考える。x-y平面上の曲線P上の各点で与えられた関数に等しい(1)の解を求める問題を、(1)に対する一般初期値問題という。(1)に対し、xyuを未知関数とする連立常微分方程式
  x′=a(x,y,u),
  y′=b(x,y,u),
  u′=c(x,y,u)
を(1)の特性微分方程式といい、その解で与えられる(x,y,u)空間の曲線を(1)の特性曲線という。(1)の解が表す曲面u=ux,y)は特性曲線により生成される曲面に等しい。したがって、特性曲線のx-y平面への射影が初期曲線Pに接しないで交わるならば、一般初期値問題の解はPの近傍で一意的に存在し、解は特性微分方程式を解くことにより得られる。かならずしも準線形とは限らない非線形一階偏微分方程式に対する一般初期値問題も、初期関数と初期曲線に対する適当な条件の下で、常微分方程式の初期値問題に帰着される。
 二階線形方程式(2)に対する一般初期値問題は、与えられた曲線P上の各点で与えられた関数に、その法線導関数を含めて等しくなるような解を求める問題である。
 いま、曲線Pの方程式を(x,y)=0とする。もし、
  Q()≡a(x,y)x2+2b(x,y)xy+c(x,y)y2=0
が成り立つならばPを(2)の特性曲線といい、またつねにQ()≠0が成り立つならばPを非特性な曲線という。初期曲線、初期関数、係数関数abcなどが解析的で、初期曲線が非特性ならばPの近傍で(2)の実解析的な解が一意的に存在する。これは高階非線形偏微分方程式に対しても成り立つ(コーシー‐コワレフスキーの定理)。
波動方程式uxx-uyy=0に対し、曲線y=0は非特性である。この場合、初期関数が解析的でなくとも解が存在し、解は初期関数に連続的に依存する。
ラプラスの方程式
  uxx+uyy=0
に対し、y=0は非特性であるが、解は初期関数に連続的に依存しないし、また初期関数が解析的でないとき解が存在しないことがある。一般に偏微分方程式に対し付加条件を課して解を求める問題について、付加条件に対し解が一意的に存在して、さらに解が付加条件に連続的に依存するとき、この問題は適切であるといわれる。
 方程式(2)において「ac-b2>0ならば楕円(だえん)型、ac-b2=0ならば放物型、ac-b2<0ならば双曲型である」という。双曲型方程式に対しては初期値問題が適切である。楕円型方程式に対しては境界値問題が適切である。二階線形偏微分方程式は数理物理学において重要であり、詳しく調べられている。[小林良和]

出典 小学館 日本大百科全書(ニッポニカ)日本大百科全書(ニッポニカ)について 情報 | 凡例

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