条件つき確率(読み)じょうけんつきかくりつ(英語表記)conditional probability

ブリタニカ国際大百科事典 小項目事典の解説

条件 B のもとでの A の起る確率をいう。 AB を外延的に集合で表現しておけば

P(AB)=P(AB)|P(B)

となる。これによって

P(AB)=P(B)P(AB)

つまり,A かつ B である確率は,B である確率に,B のときに A の起る確率を掛けたものになる。

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日本大百科全書(ニッポニカ)の解説

n本のくじのうち当たりくじがr本ある。初めにAが、続いてBがこのくじを引くとする。Aが当たる確率はr/nである。Aが当たったときBの当たる確率は(r-1)/(n-1)であり、Aが外れたときBの当たる確率はr/(n-1)である。一般に、二つの事象EFに対して、Eがおこったという条件のもとにFがおこる確率をpE(F)と表し、条件つき確率という。前記のくじの例で、Aが当たるという事象をE、Bが当たるという事象をFで表せば

である。ただしĒはEがおこらないこと、すなわちAが外れるという事象を表す。

 次に乗法定理を説明する。二つの事象EFに対して、EFが両方ともおこる場合の数をaEがおこりFがおこらない場合の数をbEがおこらないでFがおこる場合の数をcEFが両方ともおこらない場合の数をdとする。そして総数Nabcd個の場合の一つ一つがおこる確率はすべて同じであるとする。このとき、EFが両方ともおこる確率をpp(EF)と表せばpa/Nである。次にEのおこる確率p(E)は(ab)/Nであり、EがおこったときにFがおこる確率pE(F)はa/(ab)である。したがって

すなわち、EFが両方ともおこる確率は、Eがおこる確率p(E)と、EがおこったときFがおこる確率pE(F)との積に等しい。この関係を乗法定理という。これは二つの事象に関するものであるが、m個の事象についての次の定理も乗法定理という。「m個の事象E1E2、……、Emがあるとき、E1のおこる確率をp1E1がおこったときにE2のおこる確率をp2E1E2が両方ともおこったときE3のおこる確率をp3、以下同様にp4……を定めると、E1、……、Emがすべておこる確率p(E1∩……∩Em)はp1p2……pmに等しい」。とくにE1、……、Emが独立であれば
  p(E1∩……∩Em)=p(E1)p(E2)……p(Em)
である。

 初めにあげたくじの例で、Aが当たるという事象をE、Bが当たるという事象をFで表せば

したがって、くじを引くときは1回目に引く人が当たる確率と2回目に引く人が当たる確率は等しい。

[古屋 茂]

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