線形空間（読み）センケイクウカン（英語表記）linear space

デジタル大辞泉

せんけい‐くうかん【線形空間】

⇒ベクトル空間

出典　小学館

精選版 日本国語大辞典

せんけい‐くうかん【線形空間】

1. 〘 名詞 〙 数学で、Ｋが体、Ｖが集合のとき、Ｖの元の間に加法が、Ｋの元とＶの元との間に乗法が定義されていて、次の七つの条件が満たされるならば、Ｖは体Ｋの上の線形空間であるという（ただし、ａ、ｂ、ｃはＶの元、α、βはＫの元、１はＫの単位元である）。a+b=b+a (a+b)+c=a+(b+c) 任意のａ、ｂに対して a+x=b であるＶの元ｘがただ一つ存在する。1・a=a α(βa)=(αβ)a α(a+b)=αa+αb (α+β)a=αa+βa このとき、Ｖの元をベクトル、Ｋの元をスカラーとよぶ。ベクトル空間。

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改訂新版　世界大百科事典

線形空間 (せんけいくうかん)
linear space

空間のベクトル a，bとスカラーαには，和a＋bとスカラー倍αaが定義されて，次の性質をもつ。ベクトルの和について，ベクトルの全体はアーベル群（可換群）をなす。すなわち（1）a＋b＝b＋a，（2）（a＋b）＋c＝a＋（b＋c），（3）すべてのベクトルaについてa＋0＝aとなるベクトル0が存在する，（4）各ベクトル aについてa＋b＝0となるbが存在する。さらにスカラー倍について，（5）（αβ）a＝α（βa），（6）1a＝a，（7）（α＋β）a＝αa＋βa，（8）α（a＋b）＝αa＋αbが成立する。空間のベクトルのほかにも，例えば実数係数の一変数多項式全体にも和が定まっており，定数倍をスカラー倍とすれば，上記（1）～（8）の性質をもつ。これらを一般化して，次のように線形空間を定義する。集合Vと体Kが与えられて，次の条件（9）～（10）を満たすとき，VはK上の線形空間またはベクトル空間vector spaceであるといい，Vの元をベクトル，Kの元をスカラーと呼ぶ。（9）Vのかってな2元a，bについてその和a＋bが定まり，Kの任意の元αとVの任意の元aについてVの元αa（aのスカラー倍）がきまる，（10）この和について，Vはアーベル群になり，スカラー倍について，上記（5）～（8）が成立する。線形空間は上記の例以外にも数学のいたるところに現れる。例えば，Dが線形微分作用素ならば，Du＝0となる滑らかな実数値関数全体，すなわち解の空間は実数体上のベクトル空間になる。線形空間Vの部分集合Wについて，［a，b∈W，α，β∈k⇒αa＋βb∈W］が成立すれば，WもVの和，スカラー倍で線形空間になる。このとき，WはVの線形部分空間であるという。
執筆者：丸山 正樹

出典　株式会社平凡社「改訂新版　世界大百科事典」

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線形空間【せんけいくうかん】

→ベクトル空間

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線形空間
せんけいくうかん

→ベクトル空間

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