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開集合 かいしゅうごうopen set

ブリタニカ国際大百科事典 小項目事典の解説

開集合
かいしゅうごう
open set

集合 S が開集合であるとは,S に属するすべての点が内点であることをいう。これは閉集合の補集合としても定義できる。ある空間の位相を定めるために,開集合を指定する方法がよく用いられる。開集合の例としては,ユークリッド平面上の円の内部,直線上の開区間などがある。

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デジタル大辞泉の解説

かい‐しゅうごう〔‐シフガフ〕【開集合】

数直線上では開区間axbを満足させる点xの集合。平面上ではx2+y2r2を満足させる点(x,y)の集合。

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大辞林 第三版の解説

かいしゅうごう【開集合】

〘数〙 空間(または平面)の部分集合 M で、 M に属する任意の点 a について、 a を中心として適当な半径の球(円)をかけばその球(円)は M に含まれる時、 M を開集合という。開集合の概念は一般の位相空間に拡張される。 ↔ 閉集合

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世界大百科事典内の開集合の言及

【位相空間】より

Sを位相空間,Aをその部分集合とし,xSの点とするとき,xの任意の近傍がx以外にAの点を含むならば,xAの集積点accumulation pointといい,xのある近傍がAに含まれるならば,xAの内点という。Aがそれの集積点をすべて含むならばAを閉集合closed setといい,Aの点はすべてそれの内点ならばAを開集合open setという。これらの概念は位相空間論で基本的で,これらの概念のいずれか一つから出発しても位相空間を定義することができる。…

【集合】より

…集合Sの点pで,適当に正の数εを取ればpのε近傍がSに含まれてしまうものを,Sの内点という。閉集合の余集合であるような集合を開集合という。Uが開集合であるとは,〈pUならば,pUの内点である〉という条件で特徴づけられる。…

【閉集合】より

Aの境界点がすべてAに含まれるとき,AXの閉集合という。Aの点がすべてAの内点であるとき,AXの開集合という。AXの閉集合ならばXAXの開集合で,AXの開集合ならばXAXの閉集合である。…

※「開集合」について言及している用語解説の一部を掲載しています。

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