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閉集合 へいしゅうごうclosed set

翻訳|closed set

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ブリタニカ国際大百科事典 小項目事典の解説

閉集合
へいしゅうごう
closed set

位相空間 Sの部分集合 Nは,Nの点の極限がまた Nに入るとき,閉集合であるといわれる。これは,Nの補集合が開集合であることと同値である。

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世界大百科事典 第2版の解説

へいしゅうごう【閉集合 closed set】

Xを距離空間,AXの部分集合とし,xXの点とする。このとき,xの十分近くの点がすべてAに含まれるならば,xAの内点といい,xの十分近くの点は一つもAに含まれないならば,xAの外点という。内点でも外点でもない点xAの境界点という(図)。Aの境界点がすべてAに含まれるとき,AXの閉集合という。Aの点がすべてAの内点であるとき,AXの開集合という。AXの閉集合ならばXAXの開集合で,AXの開集合ならばXAXの閉集合である。

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大辞林 第三版の解説

へいしゅうごう【閉集合】

〘数〙 空間(または平面)の部分集合 M で、 M の補集合、すなわち M に属さない点全体の集合が開集合であるもの。閉集合の概念は一般の位相空間に拡張される。

出典|三省堂
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世界大百科事典内の閉集合の言及

【位相空間】より

Sを位相空間,Aをその部分集合とし,xSの点とするとき,xの任意の近傍がx以外にAの点を含むならば,xAの集積点accumulation pointといい,xのある近傍がAに含まれるならば,xAの内点という。Aがそれの集積点をすべて含むならばAを閉集合closed setといい,Aの点はすべてそれの内点ならばAを開集合open setという。これらの概念は位相空間論で基本的で,これらの概念のいずれか一つから出発しても位相空間を定義することができる。…

【位相空間】より

Sを位相空間,Aをその部分集合とし,xSの点とするとき,xの任意の近傍がx以外にAの点を含むならば,xAの集積点accumulation pointといい,xのある近傍がAに含まれるならば,xAの内点という。Aがそれの集積点をすべて含むならばAを閉集合closed setといい,Aの点はすべてそれの内点ならばAを開集合open setという。これらの概念は位相空間論で基本的で,これらの概念のいずれか一つから出発しても位相空間を定義することができる。…

【集合】より

…さらに,Uε(p)∩Sの濃度が必ず非可算の濃度であるとき,pSの凝集点という。集合Fについて,〈pFの集積点ならばpF〉が成り立つとき,Fは閉集合であるという。集合Sにその集積点を全部併せた集合を作ると,これはSを含む最小の閉集合になる。…

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