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コンパクト集合(読み)コンパクトしゅうごう(英語表記)compact set

ブリタニカ国際大百科事典 小項目事典の解説

コンパクト集合
コンパクトしゅうごう
compact set

実変数連続関数が有界閉集合上で最大値をとるのは,この集合内の点列が集積点をもつことによる (ワイエルシュトラスの定理) 。関数空間では有界閉集合だけではこの性質が成立しないので,こうした性質をコンパクト性として特徴づける必要があり,それが 20世紀初頭の一般の位相概念成立の起源の一つとなった。それはいわば,強い意味での有界性 (全有界性) を意味しており,代数学に位相を応用する際には,代数的な有限性に合った定式化のほうがよく,また位相の定式化も,極限や集積点よりは開集合中心に移行したので,いまでは次のような定式化 (ハイネ・ボレルの被覆定理) が普通である。集合 S について,S の任意の開集合による被覆が与えられ,そのなかの有限個の開集合によって S がおおわれるとき,S をコンパクト集合という。コンパクトな空間をコンパクト空間と呼び,円周や球面など,一般にユークリッド空間における有界な閉集合はコンパクトである。距離空間では,コンパクト性は,全有界かつ完備と同値である。ここに全有界とは,任意の正の数 ε に対して,つねに有限個の ε 近傍で全体を被覆することができることである。

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