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関数空間 かんすうくうかんfunctional space

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ブリタニカ国際大百科事典 小項目事典の解説

関数空間
かんすうくうかん
functional space

関数のなす集合に,代数的演算や位相を導入した空間。変分法で,関数 f に対して定まる汎関数 I(f) の極大を論じようとするときなど,f を元とする空間 Ω でのワイエルシュトラスの定理を問題にしなければならなくなる。

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出典|ブリタニカ国際大百科事典 小項目事典
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世界大百科事典 第2版の解説

かんすうくうかん【関数空間 function space】

関数f(x)を微分するという演算はf(x)にその導関数f′(x)を対応させることであり,また0≦yx≦1なる2変数(x,y)の関数K(x,y)が与えられたとき,区間[0,1]の上の関数fに対して,なる関数gを対応させると,これも関数から関数への対応(写像)である。このように,微分・積分などの演算を含む関数から関数への対応を統一的に扱うのが,現代の解析学の一つの重要な特徴である。そのために,ある条件をみたす関数の全体を一つの集合と考え,個々の関数をその集合の要素として扱うとき,その集合を関数空間という。

出典|株式会社日立ソリューションズ・クリエイト
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日本大百科全書(ニッポニカ)の解説

関数空間
かんすうくうかん

閉区間[a, b]上の連続関数全体の集合をC[a, b]で表すと、C[a, b]は普通の和や定数倍に関しベクトル空間になる。さらにfのノルムfで表し

により定義すると、ノルムは絶対値と同様な性質を満たす。f-gにより、C[a, b]の2点f、gの距離を定義すると、C[a, b]はこの距離により距離空間となり、しかも完備になる。したがって、C[a, b]はバナッハ空間となり、関数解析が使える。このように、関数が要素となるノルムの定義されたベクトル空間を関数空間という。
 C[a, b]のほかに、

が(ルベーグ積分の意味で)有限になる関数の全体をL2(a, b)で表すと、この要素f、gに、内積

が定義されて、ヒルベルト空間になる。[洲之内治男]

出典|小学館 日本大百科全書(ニッポニカ)
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