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双対 そうついdual

翻訳|dual

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世界大百科事典 第2版の解説

そうつい【双対 dual】

数学の理論において,いくつかの概念を二つずつ対応させるとき,定理が1対となって,そのおのおのは同じ構造をもつことがときどき起こる。この現象を双対性といい,対応する概念や定理を互いに他の双対という。例えば,平面射影幾何学で,“点”という概念と“直線”という概念を,“含む”という概念と“含まれる”という概念を対応させるとき,双対性がみられる。具体例をあげれば,〈3点A,B,Cが直線lに含まれ,3点A′,B′,C′が直線l′に含まれているとき,BとC′を含む直線およびB′とCを含む直線の両方に含まれる点をP,CとA′を含む直線およびC′とAを含む直線の両方に含まれる点をQ,AとB′を含む直線およびA′とBを含む直線の両方に含まれる点をRとすれば,点P,Q,Rは共通の1直線に含まれる〉(図1)というパップスの定理の双対は,〈3直線a,b,cが点Lを含み,3直線a′,b′,c′が点L′を含んでいるとき,bc′に含まれる点およびb′とcに含まれる点の両方を含む直線をp,ca′に含まれる点およびc′とaに含まれる点の両方を含む直線をq,ab′に含まれる点およびa′とbに含まれる点の両方を含む直線をrとすれば,直線p,q,rは共通の1点を含む〉(図2)という定理となる。

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世界大百科事典内の双対の言及

【数】より

…2は1に1を加えたものには違いないが,一方で2は対として1組という性格ももっている。さまざまな言語,とくに古代語の名詞において,単数,複数のほかに双数または両数dualという形をもつものがあり,多くはしだいに複数形に吸収されてしまうが,これらは単に1足す1としての2ではなく,〈対〉としての2が起源ではなかったかと考えられる。対となるものは私たちのまわりにはいくらでもある。…

【順序関係】より

… ⊵が一つの順序であるとき,関係を,abbaと定めると,も順序になる。これをもとの順序の双対(順序)という。この意味で,大きいという概念と小さいという概念は双対的である。…

【束】より

…一つの束Lにおいて,新しい演算∪,∩を, ab=(もとの演算でのab) ab=(もとの演算でのab)と定めると,やはり束になる。このように∪と∩とをとりかえた束を,もとの束の双対という。すべての束について成り立つ等式があれば,その式の∪と∩とをとりかえた等式も正しい。…

※「双対」について言及している用語解説の一部を掲載しています。

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