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ABC予想 えーびーしーよそう

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知恵蔵2015の解説

ABC予想

a+b=cが成り立つ自然数(正の整数)a、b、cにおいて、積abcの素因数に関する数論上の予想。1985年に欧州の数学者らが提唱したが、証明も反例も見つかっておらず、整数の方程式の解析における「最も重要な未解決の問題」といわれる。2012年8月、京都大学数理解析研究所の望月新一教授により、同研究所ホームページに掲載された4本の論文が、この証明に成功したと話題になっている。
abc予想では、互いに素(1以外に共通の約数をもたない)である3つの自然数(正の整数)の組(a、b、c)について考える。a、bの和がcである(a+b=cを満たす)とき、積abcの互いに異なる素因数の積をdとする。任意の実数κ> 1のとき、dをκ乗(累乗)した積は、まれにcよりも小さくなる。すなわち、そのような数の組(a、b、c)は有限個だけしか存在しないという予想だ。例えば3つの数が(2、7、9)の組のときは、2+7=9を満たすが、d=2×7×3=42だからκ>1の範囲で累乗すると、その積はcよりも大きくなってしまう。このような数の組が多いが、(1、8、9)などの組では、1+8=9を満たし、かつd=2×3=6となる。このd=6をκ=1.2として累乗した積は9よりも小さいので「まれに」あるケースということになる。現在のところ電子計算機を使ってκ>1.6となる数の組、すなわち任意の実数を1.6としたときの反例は数個だけ見つけられている。しかしκが2以上となるようなものは見つかっていない。abc予想にはいくつかの表現があり、κ=2(もしくは2以上)となるような数の組は存在しない、もしくは反例のないある実数が存在する、あるいはκ>1となるような自然数の組は限られた個数しか存在しない、というような内容になる。かつての有名な未解決問題としては,17世紀中葉から証明の試みが続けられていたフェルマーの最終定理がある。この証明に近年成功した数学者アンドリューワイルズも、abc予想の解明に取り組んでいた。abc予想が証明されればフェルマーの最終定理に非常に簡素な別証明が得られる。他の様々な未解決の問題についての解明にもつながる。また、望月教授が証明に用いた数学的手法「宇宙際タイヒミューラー理論」は、今後の整数論の研究にとって大きな手掛かりとなる。この手法が斬新なため、公開した論文についての批判や指摘を受けて修正などを進め、完成に近づいていくと考えられる。論文が認められるには、誤りがないかを審査する査読が求められるが、この論文については数年間を要すると見られている。

(金谷俊秀  ライター / 2012年)

abc予想

a+b=cが成り立つ自然数(正の整数)a、b、cにおいて、積abcの素因数に関する数論上の予想。1985年に欧州の数学者らが提唱したが、証明も反例も見つかっておらず、整数の方程式の解析における「最も重要な未解決の問題」といわれる。2012年8月、京都大学数理解析研究所の望月新一教授により、同研究所ホームページに掲載された4本の論文が、この証明に成功したと話題になっている。
abc予想では、互いに素(1以外に共通の約数をもたない)である3つの自然数(正の整数)の組(a、b、c)について考える。a、bの和がcである(a+b=cを満たす)とき、積abcの互いに異なる素因数の積をdとする。任意の実数κ> 1のとき、dをκ乗(累乗)した積は、まれにcよりも小さくなる。すなわち、そのような数の組(a、b、c)は有限個だけしか存在しないという予想だ。例えば3つの数が(2、7、9)の組のときは、2+7=9を満たすが、d=2×7×3=42だからκ>1の範囲で累乗すると、その積はcよりも大きくなってしまう。このような数の組が多いが、(1、8、9)などの組では、1+8=9を満たし、かつd=2×3=6となる。このd=6をκ=1.2として累乗した積は9よりも小さいので「まれに」あるケースということになる。現在のところ電子計算機を使ってκ>1.6となる数の組、すなわち任意の実数を1.6としたときの反例は数個だけ見つけられている。しかしκが2以上となるようなものは見つかっていない。abc予想にはいくつかの表現があり、κ=2(もしくは2以上)となるような数の組は存在しない、もしくは反例のないある実数が存在する、あるいはκ>1となるような自然数の組は限られた個数しか存在しない、というような内容になる。かつての有名な未解決問題としては,17世紀中葉から証明の試みが続けられていたフェルマーの最終定理がある。この証明に近年成功した数学者アンドリュー・ワイルズも、abc予想の解明に取り組んでいた。abc予想が証明されればフェルマーの最終定理に非常に簡素な別証明が得られる。他の様々な未解決の問題についての解明にもつながる。また、望月教授が証明に用いた数学的手法「宇宙際タイヒミューラー理論」は、今後の整数論の研究にとって大きな手掛かりとなる。この手法が斬新なため、公開した論文についての批判や指摘を受けて修正などを進め、完成に近づいていくと考えられる。論文が認められるには、誤りがないかを審査する査読が求められるが、この論文については数年間を要すると見られている。

(金谷俊秀  ライター / 2012年)

出典|(株)朝日新聞出版発行「知恵蔵2015」
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