1、2、3、……のように、ものを数えたり、順番を示したりするのに使われる数をいう。これは、正の整数ということもできる。自然数は、ものの集まりの多さを表し、また、集まりのなかでの順序を表すという二つの役割を果たす。前者の場合を集合数、後者の場合を順序数ということがある。ものの集まりを数えるという操作はその一つ一つのものに、自然数を1から順に一つずつ対応させていき(順番を決めることになる)、最後の自然数を決めるということであって、これによって、個数が求められる。
自然数は、1から始めて1を次々に加えていって構成される。したがって、自然数は限りなくある。このことを公理に基づいて理論的に確立したのがペアノである。ペアノの公理は、次の五つからなる。
〔1〕1は自然数である。
〔2〕どんな自然数xに対しても、その後者とよばれる自然数x′が一つ存在する。
〔3〕x′=y′ならば、x=yである。
〔4〕xが自然数のとき、x′が1になることはない。
〔5〕自然数の部分集合Mが、次の条件(1)(2)を満たすならば、Mは自然数全体の集合と一致する。
(1)1はMに属する。
(2)xがMに属するならば、x′もMに属する。
最後の〔5〕は、数学的帰納法の原理となるものである。これを基にして、自然数の計算などを定めていくことができる。
計算の面からみると、自然数は、加法と乗法について閉じているといえる。つまり、どんな二つの自然数をとっても、その和と積は自然数になる。ところが、二つの自然数について、一方から他方を引くと自然数になるとは限らないし、一方を他方で割ったときの商は自然数になるとは限らない。つまり、自然数は、減法と除法について閉じていない。自然数を広げて、減法について閉じるようにしたのが整数であり、除法について閉じるようにしたのが正の分数である。
[三輪辰郎]
出典 ブリタニカ国際大百科事典 小項目事典ブリタニカ国際大百科事典 小項目事典について 情報
1,2,3,……が自然数であるが,これはものの個数を数えることから生じたもっとも基本的な数である。1は自然数である。またnが自然数であれば,それよりも1だけ大きい数n+1も自然数であり,したがって自然数は無限に存在する。自然数にはその大小関係により順序が定まっている。1から出発して次々にそれよりも1だけ大きい数を考えていけば,すべての自然数はその中に必ず一度だけ現れる。この性質は数学的帰納法に利用される。
執筆者:斎藤 裕
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