コンパクト集合（読み）コンパクトしゅうごう（英語表記）compact set

ブリタニカ国際大百科事典 小項目事典

コンパクト集合
コンパクトしゅうごう
compact set

実変数連続関数が有界閉集合上で最大値をとるのは，この集合内の点列が集積点をもつことによる (ワイエルシュトラスの定理) 。関数空間では有界閉集合だけではこの性質が成立しないので，こうした性質をコンパクト性として特徴づける必要があり，それが 20世紀初頭の一般の位相概念成立の起源の一つとなった。それはいわば，強い意味での有界性 (全有界性) を意味しており，代数学に位相を応用する際には，代数的な有限性に合った定式化のほうがよく，また位相の定式化も，極限や集積点よりは開集合中心に移行したので，いまでは次のような定式化 (ハイネ・ボレルの被覆定理) が普通である。集合 S について，S の任意の開集合による被覆が与えられ，そのなかの有限個の開集合によって S がおおわれるとき，S をコンパクト集合という。コンパクトな空間をコンパクト空間と呼び，円周や球面など，一般にユークリッド空間における有界な閉集合はコンパクトである。距離空間では，コンパクト性は，全有界かつ完備と同値である。ここに全有界とは，任意の正の数 ε に対して，つねに有限個の ε 近傍で全体を被覆することができることである。

出典　ブリタニカ国際大百科事典 小項目事典