シンプソンの公式 (シンプソンのこうしき)
Simpson's rule
定積分
の近似計算のために次のようにして作られた公式である。区間[a,b]を2n等分した分点をa=x0,x1,x2,……,x2n=bとし,それらに対応するf(x)の値をy0,y1,y2,……,y2nとする。n個の小区間[x0,x2],[x2,x4],……,[x2n-2,x2n]において,関数y=f(x)を,それぞれ図におけるf(x)のグラフ上の3点{P0,P1,P2},{P2,P3,P4},……,{P2n-2,P2n-1,P2n}を通る放物線をグラフとする二次関数で置き換え,
h=\(\frac{b-a}{2n}\)
とすると,各小区間における二次関数の積分の値はそれぞれ

となるから,これらを加えて次の近似公式が得られる。これをシンプソンの公式という。

例えば
を計算するために,区間[0,1]を10等分すると,n=5,h=0.1,x0=0,x1=0.1,x2=0.2,……,x9=0.9,x10=1であり,対応するyの値から,
y0=1,y10=0.5
y1+y3+y5+y7+y9=3.931069
y2+y4+y6+y8=3.168657
となる。よってシンプソンの公式により,

が得られる。なお,この定積分の正しい値はπ/4=0.785398……である。
執筆者:伊藤 清三
出典 株式会社平凡社「改訂新版 世界大百科事典」改訂新版 世界大百科事典について 情報
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シンプソンの公式
シンプソンのこうしき
Simpson's rule
関数の数値積分に,実用上よく使われた公式で,イギリスの数学者 T.シンプソン(1710~61)によって発見された。与えられた区間[a,b]での f(x)の定積分
の値が正確に求められないときには,積分が容易に求められる関数,たとえば多項式 p(x)で f(x)を近似して,p(x)の定積分をもって f(x)の定積分の近似値とする方法が用いられる。この方法の一般公式は,ニュートン=コーツの公式で与えられる。シンプソンの公式は,ニュートン=コーツの公式の,n=2の場合にあたり,シンプソンの 1/3則ともいわれる。n=3のときがシンプソンの 3/8則である。区間[a,b]を 2n 等分し,その分点を順に a=x0,x1,x2,…,x2n=b とし,これらに対応する y=f(x)の値をそれぞれ,y0,y1,y2,…,y2n とすれば,定積分 S の近似値は S≅(h/3){y0+4(y1+y3+…+y2n-1)+2(y2+y4+…+y2n-2)+y2n}で与えられる。ただし h=(b-a)/2n である。
出典 ブリタニカ国際大百科事典 小項目事典ブリタニカ国際大百科事典 小項目事典について 情報
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「シンプソンの公式」の意味・わかりやすい解説
シンプソンの公式【シンプソンのこうしき】
関数f(x)のx=aからbまでの定積分(式1)の近似値を求める一方法。区間[a,b]を2n等分(1区分の長さh=(b−a)/2n)し,各分点をx(/0)(=a),x1,x2,…,x2(/n)(=b),それらを代入したy=f(x)の値をy(/0),y1,y2,…,y2(/n)とするとき,上の積分の近似値は {y(/0)+4(y1+y3+…+y2(/n)(/-)1) +2(y2+y4+…+y2(/n)(/-)2)+y2(/n)}h/3で与えられる。その誤差の絶対値は(b−a)5G/2880n4より小さい(Gはf(x)の第4次微分係数の[a,b]内での最大値)。英国のシンプソンThomas Simpson〔1710-1761〕が発見。
→関連項目数値積分
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「シンプソンの公式」の解説
シンプソンの公式【Simpson's formula】
定積分を求めるための近似公式.シンプソンの法則*,シンプソンの放物線公式*とも呼ばれる.積分対象となる関数(f(x))の曲線をいくつもの区間に区切って放物線で近似する.積分区間[a,b]を2n 等分し,(b-a)/2n=h として,a,a+h,a+2h,…に相当する f(x) の値をy0,y1,y2,…としたとき,積分の近似値 A は次の式で求められる.
出典 朝倉書店法則の辞典について 情報
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世界大百科事典(旧版)内のシンプソンの公式の言及
※「シンプソンの公式」について言及している用語解説の一部を掲載しています。
出典|株式会社平凡社「世界大百科事典(旧版)」
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