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曲線 きょくせんcurve

翻訳|curve

ブリタニカ国際大百科事典 小項目事典の解説

曲線
きょくせん
curve

曲線は,直観的には1点がその両方向に連続的に位置を変えて動いたときの「道」,または個々の点全体の集合と考えることができる。曲線は座標系を用い,媒介変数による方程式で表現すれば,より正確に定義できる。また,曲面を表わす方程式の交わりとして表現することもできる。その方程式の性質に従って,曲線を代数曲線超越曲線とに分けることもある。

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デジタル大辞泉の解説

きょく‐せん【曲線】

角がなく、連続的に曲がっている線。カーブ。「ゆるやかに曲線を描く」

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百科事典マイペディアの解説

曲線【きょくせん】

点が平面上または空間内を連続的に動いた軌跡。現在の数学では曲線は線と同義。狭義には線を直線と曲線に分け,直線でないものを曲線という。一般的には,閉区間a≦t≦bで定義された二つの連続関数f(t),g(t)により,座標(x,y)がx=f(t),y=g(t)で表される点の集合を平面上の連続曲線と定義する。
→関連項目

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世界大百科事典 第2版の解説

きょくせん【曲線 curve】

通俗には直線でない線を曲線と呼び,数学の古典であるユークリッドの《ストイケイア》もこの立場をとっている。しかしながら,現今の数学では曲線は線の同義語で,直線をもその中に含める。ユークリッドは〈線とは幅のない長さで,その端は点である〉と述べ,線すなわち曲線の一応の説明をしている。しかしこれは完全な定義とはいえない。ユークリッド以後は19世紀後半まで,曲線は自明な概念として定義も与えられず使われてきたが,今日では曲線を解析的表示によって定義する。

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大辞林 第三版の解説

きょくせん【曲線】

まがった線。直線でない線。数学では、直線も曲線の特別な場合とみることがある。カーブ。 ↔ 直線

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日本大百科全書(ニッポニカ)の解説

曲線
きょくせん
curve

平面、あるいは空間内で、その点の座標が一つの実変数tの連続関数となっているものを曲線、または連続曲線という。平面内の曲線を平面曲線といい、方程式
x=f(t), y=g(t)
で表される。空間内の曲線を空間曲線といい、
x=f(t), y=g(t), z=h(t)
で表される。
 曲線はまた、
F(x, y)=0
あるいは
F(x, y, z)=0, G(x, y, z)=0
の形で与えられることもある。たとえば円は、
x=r cos t, y=r sin t
あるいは
x2+y2=r2
の形で与えられる。
 平面曲線はまた、y=u(x)あるいは極座標によってr=v(θ)で与えられることもある。以下では、おもに平面曲線を考える。
 「アステロイド」「カージオイド」「クロソイド」「コンコイド」「サイクロイド」「疾走線(しっそうせん)」「トラクトリックス」「螺線(らせん)」「リマソン」などの個々の曲線については、各項目を参照されたい。[竹之内脩]

滑らかな曲線

平面曲線x=f(t), y=g(t)において、f(t), g(t)が導関数を有し、かつそれらが連続であるとき、この曲線を滑らかな曲線という。そして、f′(t), g′(t)を成分とするベクトル(f′(t), g′(t))を接ベクトルという。滑らかな曲線とは、接ベクトルが連続的に変わっていく曲線、という意味である。接ベクトルは、曲線上の近い2点
P(t)=(f(t), g(t))
P(t+Δt)=(f(t+Δt), g(t+Δt))
を結ぶベクトルをΔtで割って極限をとったものである。[竹之内脩]

曲線の長さ

2点A、Bを結ぶ曲線があるとき、この曲線上でA、Bの間に順に数多くの点
P1, P2,……, Pn-1 (A=P0, B=Pn)
をとり、これらの点を次々と線分で結んで折れ線をつくる。この折れ線の長さ(各線分の長さの和)が、点のとり方をこの曲線上密になるようにしていったとき、ある極限値に収束するならば、この曲線は長さがあるといい、この極限値を曲線の長さという。
 滑らかな曲線は長さを有し、その長さは次のようになる。

たとえば、円の場合は

となり、周知の値を得る。また、放物線y=x2のx=aからx=b(a<b)までの長さは、

曲線の式がF(x, y)=0の形で与えられているとき、もしもある点で∂F/∂x=0,∂F/∂y=0が成り立っていると、この点の近くでは一般にF(x, y)=0をx=f(t), y=g(t)の形に表すことができない。これを、この曲線の特異点という。
 曲線の式が与えられたとき、この曲線の概形を描くことを、曲線の追跡という。このためには、曲線の存在する範囲や、特異点、漸近線(ぜんきんせん)などを調べるとよい。
 円のように両端がつながっている曲線を閉曲線という。レムニスケートのように自分自身と交わりをもつ閉曲線もある。自分自身と交わりをもたない閉曲線を単純閉曲線、あるいはジョルダン閉曲線という。ジョルダンは次のことを示した(1893)。「平面内の単純閉曲線は、平面を内部と外部の二つの部分に分け、内部の点と外部の点は、この曲線と交わることなしには結べない」。これをジョルダンの曲線定理という。内容は常識的であるが、数学的に証明しようとするとむずかしい定理である。[竹之内脩]
『栗田稔著『いろいろな曲線』(1966・共立出版)』

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