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シンプソンの公式 シンプソンのこうしきSimpson's rule

ブリタニカ国際大百科事典 小項目事典の解説

シンプソンの公式
シンプソンのこうしき
Simpson's rule

関数の数値積分に,実用上よく使われた公式で,イギリスの数学者 T.シンプソン(1710~61)によって発見された。与えられた区間[ab]での fx)の定積分
の値が正確に求められないときには,積分が容易に求められる関数,たとえば多項式 px)で fx)を近似して,px)の定積分をもって fx)の定積分の近似値とする方法が用いられる。この方法の一般公式は,ニュートン=コーツの公式で与えられる。シンプソンの公式は,ニュートン=コーツの公式の,n=2の場合にあたり,シンプソンの 1/3則ともいわれる。n=3のときがシンプソンの 3/8則である。区間[ab]を 2n 等分し,その分点を順に ax0x1x2,…,x2nb とし,これらに対応する yfx)の値をそれぞれ,y0y1y2,…,y2n とすれば,定積分 S の近似値は S≅(h/3){y0+4(y1y3+…+y2n-1)+2(y2y4+…+y2n-2)+y2n}で与えられる。ただし h=(ba)/2n である。

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百科事典マイペディアの解説

シンプソンの公式【シンプソンのこうしき】

関数f(x)のx=aからbまでの定積分(式1)の近似値を求める一方法。区間[a,b]を2n等分(1区分の長さh=(b−a)/2n)し,各分点をx(/0)(=a),x1,x2,…,x2(/n)(=b),それらを代入したy=f(x)の値をy(/0),y1,y2,…,y2(/n)とするとき,上の積分の近似値は {y(/0)+4(y1+y3+…+y2(/n)(/-)1) +2(y2+y4+…+y2(/n)(/-)2)+y2(/n)}h/3で与えられる。
→関連項目数値積分

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世界大百科事典 第2版の解説

シンプソンのこうしき【シンプソンの公式 Simpson’s rule】

定積分の近似計算のために次のようにして作られた公式である。区間[a,b]を2n等分した分点をax0,x1,x2,……,x2nbとし,それらに対応するf(x)の値をy0,y1,y2,……,y2nとする。n個の小区間[x0,x2],[x2,x4],……,[x2n-2,x2n]において,関数yf(x)を,それぞれ図におけるf(x)のグラフ上の3点{P0,P1,P2},{P2,P3,P4},……,{P2n-2,P2n-1,P2n}を通る放物線をグラフとする二次関数で置き換え,h=(ba)/2nとすると,各小区間における二次関数の積分の値はそれぞれとなるから,これらを加えて次の近似公式が得られる。

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世界大百科事典内のシンプソンの公式の言及

【数値積分】より

…関数f(x)の定積分,は,f(x)の不定積分F(x)がわかれば,ただちにF(b)-F(a)として求まるが,F(x)がうまく求まらないとき多項式のように定積分が容易にわかる関数p(x)でf(x)を近似して,p(x)の積分をIの近似値とする。その近似値を数値的に求めるのが数値積分である。Iをより一般に,正の値をとる重み関数w(x)をつけて,の形で扱われることが多い。I′の近似値が,と表されるとき,akは標本点,Akは重みと呼ばれる。…

※「シンプソンの公式」について言及している用語解説の一部を掲載しています。

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