三つの自然数l,m,nがl2+m2=n2を満足するとき,(l,m,n)をピタゴラス数と呼ぶ。(3,4,5)はそのいちばん簡単な例である。三平方の定理を使えば,この条件は3辺の長さがそれぞれl,m,nである直角三角形が存在するといいかえられる。ピタゴラスはkが奇数であれば,はピタゴラス数であることを発見したといわれる。(l,m,n)がピタゴラス数であれば,これらに任意の自然数aを掛けた(al,am,an)もピタゴラス数である。またピタゴラス数(l,m,n)のうち,二つがaの倍数であれば残りもaの倍数である。したがって(l,m,n)のどの二つも互いに素なピタゴラス数が基本的である。このようなピタゴラス数は一方が奇数,他方が偶数である自然数u,v(u>v)を使ってl=u2-v2,m=2uv,n=u2+v2と書くことができる。これはまた,二つの正の奇数x,y(x>y)を使ってl=xy,,
と書くこともできる。
執筆者:上野 健爾
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…これからs=5-9u,t=1+2u,したがって(3)の解は,次のように与えられる。 X2+Y2=Z2 ……(4) この方程式の整数解で正のものをピタゴラス数というが,そのなかで,XとYが互いに素なものは,X,Yの一方が偶数になり,それをXとすれば,X=2mn,Y=m2-n2,Z=m2+n2で与えられる。m,nは,互いに素で,m>n,かつm+nは奇数となる正の整数である。…
※「ピタゴラス数」について言及している用語解説の一部を掲載しています。
出典|株式会社平凡社「世界大百科事典(旧版)」
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