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ヤコビアン ヤコビアン Jacobian

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ブリタニカ国際大百科事典 小項目事典の解説

ヤコビアン
ヤコビアン
Jacobian

関数行列式とも呼ばれる。たとえば,2つの独立変数 uv の2つの関数 xx(uv) ,yy(uv) がある場合,微分を考えると, なので,この無限小変換の面積比にあたる行列式 を,2つの関数 xyuv に関するヤコビアンという。

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日本大百科全書(ニッポニカ)の解説

ヤコビアン
やこびあん
Jacobian

関数行列式ともいう。数学者ヤコービの名をとってつけられた。多変数関数を扱う際に非常に重要な意味をもつ行列式である。ここでは二変数の場合について説明する。
 二変数x、yの二つのC1級関数(偏導関数が存在して連続であるような関数)f(x,y),g(x,y)があるとき、次の行列式(*)によって定められる関数を、f、gのx、yに関するヤコビアンという。

 いま、u=f(x,y),v=g(x,y)によって、変数x、yを変数u、vに変換することを考える。このとき、1点(x0,y0)の十分小さな近傍では、この変換は線形変換

にほぼ等しく、ヤコビアンは、この線形変換の係数の行列式である。この意味でヤコビアンは、多変数関数の解析につねに登場し、中心的な役割を果たすものである。[竹之内脩]

逆変換

変換u=f(x,y),v=g(x,y)があるとき、ある点(x0,y0)で

ならば、点(x0,y0)の近傍では、対応(x,y)→(u,v)は1対1となり、逆変換x=(u,v),y=ψ(u,v)が存在する。ここで、、ψはu、vのC1級関数である。[竹之内脩]

陰関数定理

F(x,y,z),G(x,y,z)は三変数x、y、zのC1級関係であるとする。このとき、点(x0,y0,z0)において

ならば、C1級関数f(x),g(x)が存在して、
  f(x0)=y0, g(x0)=z0
かつ、x0の近傍でつねに
  F(x,f(x),g(x))=0, G(x,f(x),g(x))=0
が成り立つ。すなわち
  F(x,y,z)=0, G(x,y,z)=0
は、y、zに関して解ける。これを陰関数定理という。[竹之内脩]

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世界大百科事典内のヤコビアンの言及

【積分】より

x=φ(u,v),y=ψ(u,v)により,uv平面上の点集合Bからxy平面上の点集合Aへの1対1の写像が与えられていて,φ,ψはu,vに関して連続偏微分可能とする。このとき,とすると,A,Bのうち一方が面積確定なら他方も面積確定で,(7)の行列式を関数行列式,またはヤコビの行列式(ヤコビアンJacobian)という。とくに,xrcosθ,yrsinθ(二次元の極座標)とすると,であるから, 三次元の場合にはx=φ(u,v,w),y=ψ(u,v,w),z=χ(u,v,w)について上と同様な仮定のもとに,関数行列式,を用いて(8)と同様な公式を書くことができる。…

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