日本大百科全書(ニッポニカ) 「ロピタルの定理」の意味・わかりやすい解説
ロピタルの定理
ろぴたるのていり
L'Hospital's theorem
たとえば
を考えるときx→0の極限においてはsinx/xは形として0/0になる。このような極限の形を不定形という。
一般に、x→a(またはx→a+0,x→a-0,x→∞など)のとき、極限において0/0,∞/∞,0・∞,00,∞0などの形となるものの極限値を、不定形の極限値という。
ロピタルの定理は、このような極限値を求めるときに有効な定理で、次のようなものである。
x→aのとき、f(x)/g(x)が0/0あるいは∞/∞の形の不定形であるとする。もしx=aを除いてf(x)/g(x)が微分可能で、
が存在するならば、
も存在して、この二つの極限値は相等しい。
例1として次の式を考えてみる。
これは0/0形の不定形である。分子、分母を微分したものについて、
であるから、本題の極限は存在して、その極限値は1/2である。
例2として次の式を考えてみる。
これは∞/∞形の不定形である。
で、これはx→∞のとき0に収束する。本題の極限値は存在し、0に等しい。
[竹之内脩]