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ロピタルの定理 ロピタルのていり L’Hospital’s theorem

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世界大百科事典 第2版の解説

ロピタルのていり【ロピタルの定理 L’Hospital’s theorem】

関数f,gが閉区間[a,b]で連続,開区間(a,b)で微分可能,またg′(x)は(a,b)で0にならないとする。f(a)=g(a)=0であってが存在するならば,すなわちf(a)/g(a)が0/0の形のとき,(1)の左辺の極限値の計算は分母,分子を別々に微分した右辺の極限値を計算すればよい。これをロピタルG.F.A.de L’Hospital(1661‐1704)の定理,またはロピタルの法則という。例えば,と求められる。

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日本大百科全書(ニッポニカ)の解説

ロピタルの定理
ろぴたるのていり
L'Hospital's theorem

たとえば

を考えるときx→0の極限においてはsinx/xは形として0/0になる。このような極限の形を不定形という。
 一般に、x→a(またはx→a+0,x→a-0,x→∞など)のとき、極限において0/0,∞/∞,0・∞,00,∞0などの形となるものの極限値を、不定形の極限値という。
 ロピタルの定理は、このような極限値を求めるときに有効な定理で、次のようなものである。
 x→aのとき、f(x)/g(x)が0/0あるいは∞/∞の形の不定形であるとする。もしx=aを除いてf(x)/g(x)が微分可能で、

が存在するならば、

も存在して、この二つの極限値は相等しい。
 例1として次の式を考えてみる。

これは0/0形の不定形である。分子、分母を微分したものについて、

であるから、本題の極限は存在して、その極限値は1/2である。
 例2として次の式を考えてみる。

これは∞/∞形の不定形である。

で、これはx→∞のとき0に収束する。本題の極限値は存在し、0に等しい。[竹之内脩]

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世界大百科事典内のロピタルの定理の言及

【微分】より

…例えば,f,gaの近傍で微分可能であってf(a)=g(a)=0であり,f′(x)/g′(x)がaで連続ならば,すなわち,f(a)/g(a)が0/0の形になるときには,上の極限値の計算は,分母,分子を別々に微分してxaの極限値を計算すればよい。これをロピタルの定理という。例えば, f(x)が開区間In回微分可能のとき,Iの中の点aを固定して,Iの任意の点xに対して,とおくと,となるようなξがaxとの間にある。…

※「ロピタルの定理」について言及している用語解説の一部を掲載しています。

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