ヤコビアン（読み）やこびあん（英語表記）Jacobian

日本大百科全書(ニッポニカ)

ヤコビアン
やこびあん
Jacobian

関数行列式ともいう。数学者ヤコービの名をとってつけられた。多変数関数を扱う際に非常に重要な意味をもつ行列式である。ここでは二変数の場合について説明する。

　二変数x、yの二つのC¹級関数（偏導関数が存在して連続であるような関数）f(x,y),g(x,y)があるとき、次の行列式（＊）によって定められる関数を、f、gのx、yに関するヤコビアンという。

　いま、u=f(x,y),v=g(x,y)によって、変数x、yを変数u、vに変換することを考える。このとき、1点(x₀,y₀)の十分小さな近傍では、この変換は線形変換

にほぼ等しく、ヤコビアンは、この線形変換の係数の行列式である。この意味でヤコビアンは、多変数関数の解析につねに登場し、中心的な役割を果たすものである。

［竹之内脩］

逆変換

変換u=f(x,y),v=g(x,y)があるとき、ある点(x₀,y₀)で

ならば、点(x₀,y₀)の近傍では、対応(x,y)→(u,v)は1対1となり、逆変換x=(u,v),y=ψ(u,v)が存在する。ここで、、ψはu、vのC¹級関数である。

［竹之内脩］

陰関数定理

F(x,y,z),G(x,y,z)は三変数x、y、zのC¹級関係であるとする。このとき、点(x₀,y₀,z₀)において

ならば、C¹級関数f(x),g(x)が存在して、
　　f(x₀)=y₀,　g(x₀)=z₀
かつ、x₀の近傍でつねに
　　F(x,f(x),g(x))=0, G(x,f(x),g(x))=0
が成り立つ。すなわち
　　F(x,y,z)=0, G(x,y,z)=0
は、y、zに関して解ける。これを陰関数定理という。

［竹之内脩］

出典　小学館　日本大百科全書(ニッポニカ)

ブリタニカ国際大百科事典 小項目事典

ヤコビアン
Jacobian

関数行列式とも呼ばれる。たとえば，2つの独立変数 u ，v の2つの関数 x＝x(u，v) ，y＝y(u，v) がある場合，微分を考えると，
なので，この無限小変換の面積比にあたる行列式
を，2つの関数 x ，y の u ，v に関するヤコビアンという。 x ，y の間に関数関係が存在するための必要十分条件は ∂(x，y)/∂(u，v)＝0 であたえられる。 n 変数についても同様に考えられる。

出典　ブリタニカ国際大百科事典 小項目事典

世界大百科事典（旧版）内のヤコビアンの言及

【積分】より

…x＝φ(u,v)，y＝ψ(u,v)により，uv平面上の点集合Bからxy平面上の点集合Aへの1対1の写像が与えられていて，φ，ψはu,vに関して連続偏微分可能とする。このとき，とすると，A,Bのうち一方が面積確定なら他方も面積確定で，(7)の行列式を関数行列式，またはヤコビの行列式(ヤコビアンJacobian)という。とくに，x＝rcosθ,y＝rsinθ(二次元の極座標)とすると，であるから，　三次元の場合にはx＝φ(u,v,w)，y＝ψ(u,v,w)，z＝χ(u,v,w)について上と同様な仮定のもとに，関数行列式，を用いて(8)と同様な公式を書くことができる。…

※「ヤコビアン」について言及している用語解説の一部を掲載しています。

出典｜株式会社平凡社「世界大百科事典（旧版）」