フーリエ積分(読み)フーリエせきぶん(英語表記)Fourier integral

改訂新版 世界大百科事典 「フーリエ積分」の意味・わかりやすい解説

フーリエ積分 (フーリエせきぶん)
Fourier integral

(-∞,∞)において積分可能な関数fx)に対して,次の関数Ft)を考える。

この右辺の積分をフーリエ積分といい,左辺の関数Ft)をfx)のフーリエ変換という。また(1)によるfからFへの変換をもフーリエ変換という。これは有限区間における関数のフーリエ係数を求めることに相当する。有限区間で関数をフーリエ級数に展開することに対応して(-∞,∞)上の関数fx)を,

のような形に表すことを考える。fx)が点x近傍で有界変動ならば,(2)の左辺を1/2{fx+0)+fx-0)}で置き換えた式が成立する。とくにfx)が実数値ならば(2)は,

となり,これは次の式とも同等である。

(3),(4)をそれぞれフーリエの二重積分定理,単積分定理という。fが(-∞,∞)で2乗可積分のときは,任意のa>0に対して,tについて2乗可積分であって,

なる2乗可積分関数Ft)が存在する。(5)が成り立つとき,と書きFaFに平均収束するという(記号l.i.m. はlimit in meanと読む)。このとき(2)は,の意味で成立する。この事実をプランシュレルの定理という。さらにパーセバルの等式,が成立する。fとその導関数f′が可積分のとき,fのフーリエ変換をFt)とすると,f′のフーリエ変換は-itFt)になる。

 すなわち微分演算がフーリエ変換により単に-itを掛けることで置き換えられる。この事実は微分方程式解法に応用される。
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出典 株式会社平凡社「改訂新版 世界大百科事典」改訂新版 世界大百科事典について 情報

ブリタニカ国際大百科事典 小項目事典 「フーリエ積分」の意味・わかりやすい解説

フーリエ積分
フーリエせきぶん

「フーリエ変換」のページをご覧ください。

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