フーリエ変換（読み）ふーりえへんかん（英語表記）Fourier transformation

日本大百科全書(ニッポニカ)

フーリエ変換
ふーりえへんかん
Fourier transformation

実軸上の関数f(x)に対し、そのフーリエ変換を

で定義する。(ξ)が適当な条件を満たせば、

が成り立つ。これをフーリエの反転公式という。

　f(x)が偶関数のとき、（1）、（2）はそれぞれ

また奇関数のときは

となる。

　f(x)∈L¹(-∞,∞)ならば、そのフーリエ変換（1）が定義され、

とすると、

　さらに、

と定義すれば、(f*g)(x)∈L¹(-∞,∞)となり、

などが成り立つ。

　たとえば

とすると、

とくに、

となり、フーリエ変換で変わらない。

　この例の関数は急減少関数、すなわち、無限回連続微分可能で、任意の自然数k、lに対し、
　　x^lf^(k)(x)→0　(|x|→+∞)
となっている。そのような関数の全体をで表すと、f∈⇒∈となり、反転公式が成り立つ。よって、フーリエ変換を超関数′で定義する方法がある。

　フーリエ変換の他の一般への拡張は、f∈ならば、

とすると、
　　‖f‖₂=‖‖₂　（3）
　となるから、任意のL²(-∞,∞)の関数にフーリエ変換が定義され、（3）が成り立つ。これをプランシュレルの定理という。これから、フーリエ変換はL²(-∞,∞)上の等長変換であることがわかる。

［洲之内治男］

多変数のフーリエ変換

フーリエ級数やフーリエ変換は多変数の関数f(x₁,x₂,……,x_n)に拡張される。それには、x=(x₁,x₂,……,x_n),ξ=(ξ₁,ξ₂,……,ξ_n)に対し、

とし、

によって定義すればよい。多くの結果は一変数のときと同様に成り立ち、偏微分方程式などに応用される。

［洲之内治男］

[参照項目] | 超関数

出典　小学館　日本大百科全書(ニッポニカ)

ブリタニカ国際大百科事典 小項目事典

フーリエ変換
フーリエへんかん
Fourier transformation

(－∞，∞) で定義された実数値をとる1つの関数 f(x) が与えられたとき，フーリエ積分
を考えて，関数 f(x) に関数 g(x) を対応させる変換を，フーリエ変換という。また，g(x) を f(x) のフーリエ変換という。フーリエ級数もこれと同じ形で，関数 f(x) に数列 {c_n} を対応させている。それで，フーリエ積分とフーリエ変換を総称してフーリエ変換ということもある。

出典　ブリタニカ国際大百科事典 小項目事典