日本大百科全書(ニッポニカ) 「フーリエ級数」の意味・わかりやすい解説
フーリエ級数
ふーりえきゅうすう
Fourier series
区間［0,2π］で定義された周期2πの周期関数f(x)に対し、
として、級数
を考え、これを関数f(x)のフーリエ級数という。これはJ・フーリエが1810年代に熱拡散問題を解くために導入したものである。
フーリエ級数で基本的な問題は、f(x)にどのような条件を置くと、級数S［f］(x)が収束し、その和がf(x)に等しくなるかである。この問題のむずかしさは、たとえばフーリエ級数S［f］(x)が各点でf(x)に収束するためには、f(x)が連続というだけでは十分でない（反例がある）。もうすこしf(x)に滑らかさを要求して、「周期関数f(x)が区分的に滑らかであるとは、区間［0,2π］において、有限個の点を除いてf´(x)が存在して有界連続となること」と定義すると、関数f(x)が［0,2π］において区分的に滑らかならば、f(x)のフーリエ級数S［f］(x)は任意の点xで1/2｛f(x-0)+f(x+0)｝に収束する。
この結論は、f(x)が有界変動（f(x)=f1(x)-f2(x)と書けて、f1(x),f2(x)は単調増加関数）としてもそのまま成り立つ。
このように関数f(x)を一般にする方向では、最終的な結果が、1966年にスウェーデンのL・カールソンによって得られた。それはf(x)が［0,2π］で自乗可積分、すなわち
ならば、そのフーリエ級数S［f］(x)はほとんど至る所のxでf(x)に収束する。
［洲之内治男］
フーリエ級数のL2収束
［0,2π］で定義された自乗可積分（（1）を満足する）な関数の全体をL2［0,2π］で表し、f(x),g(x)∈L2［0,2π］に対して内積とノルムを
で定義すると、L2［0,2π］はヒルベルト空間になる。
とくに関数列｛fn(x)｝がf0(x)に対し
‖fn-f0‖→0 (n→∞)
となるとき、｛fn(x)｝はf0(x)にL2収束（自乗平均収束）するという。このように収束の概念を拡張すると、周期2πをもつ連続関数f(x)に対し、そのフーリエ級数S［f］(x)はf(x)にL2収束することがいえる。
［洲之内治男］
直交関数系
一般に区間［a,b］上の自乗可積分な関数の全体をL2(a,b)とし、内積やノルムを、（2）をaからbまでの積分として定義すると、L2(a,b)はヒルベルト空間になる。｛
j(x)｝⊂L2(a,b)が〈i,j〉=0(i≠j)となるとき、｛j(x)｝は直交関数系であるといい、さらに、すべてのjに対し、‖j‖=1となっているとき正規直交関数系であるという。
L2(a,b)の正規直交関数系｛j(x)｝が与えられたとき、f(x)∈L2(a,b)に対し、cj=〈f,j〉としてつくった級数
を｛j(x)｝によるフーリエ級数という。正規直交系に関する展開はヒルベルト空間における一般論に含まれる。
L2［0,2π］で
は正規直交関数系である。
L2(-1,1)において、ルジャンドルの多項式
は直交関数系であり、
になる。
［洲之内治男］
『猪狩惺著『フーリエ級数』（1975・岩波書店）』
で定義される級数を，{ψn(x)} に関する f(x) のフーリエ級数と呼び，次のように書く。 
ここに現れる数列 {cn} を f(x) の {ψn(x)} に関するフーリエ係数という。 [a，b] として [－π，π] をとり，{ψn(x)} として，
， cos x/√π ， sin x/√π ，… ， cos nx/√π ， sin nx/√π とれば，f(x) のフーリエ級数は 
の形となる。このような級数を三角級数と呼ぶ。