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テーラーの定理 テーラーのていりTaylor's theorem

ブリタニカ国際大百科事典 小項目事典の解説

テーラーの定理
テーラーのていり
Taylor's theorem

関数 yf(x) が閉区間 [aah] で連続で,この区間内で微分可能ならば,aah の間には等式 {f(ah)-f(a)}/hf'(a+θh)(0<θ<1) ,または書き換えて f(ah)=f(a)+hf'(a+θh) を成り立たせるような θ が,少くとも1つ存在することが知られている (平均値の定理) 。これを拡張したものがテーラーの定理である。定理は次のように述べられる。関数 yf(x) が区間 [aah] で連続で,n 回微分可能,すなわち n 次までの導関数 f'(x),f''(x),…,f(n)(x) をもつならば,等式
が成立する 0<θ<1 である θ が存在する。これをテーラーの定理といい,上の等式の右辺をテーラーの展開式あるいはテーラーの公式という。また右辺の最後の項 f(n)(a+θh)hn/n!=Rn を展開式の剰余項あるいは単に剰余という。他の剰余式と区別するときには,これをラグランジュの剰余形式という。テーラーの定理は,1つの関数 f(xh) を,そのテーラー展開式で表わされる整関数で近似した場合,そこに現れる剰余についての定理ということもできる。 f(n) も連続なら,Rn は積分を使って
と表わすこともでき,微分よりは積分のほうが扱いよいので,最近では積分型の剰余項を使うことが多い。

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