数直線上で原点に関して対称な定義域をもつ関数f(x)があって,その定義域で恒等的にf(-x)=f(x)をみたすとき,f(x)を偶関数という。例えばx2,1/x4,|x|,cos x,ex+e⁻xなどは偶関数である。偶関数と偶関数の和,差,積,商は偶関数である。とくにxの偶数次の項のみから成る多項式,例えば3x4+2x2-5は偶関数である。奇関数と奇関数の積,商は偶関数であり,奇関数と偶関数の積,商は奇関数である(商f(x)/g(x)を考える場合は,g(x)=0なるxは定義域から除く)。定義域が原点に関して対称な任意の関数f(x)は,すべて奇関数と偶関数の和として表される。すなわち,
g(x)={f(x)-f(-x)}/2
は奇関数,
h(x)={f(x)+f(-x)}/2
は偶関数であって,
f(x)=g(x)+h(x)
となる。
執筆者:伊藤 清三
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