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単連結 たんれんけつsimply connected

ブリタニカ国際大百科事典 小項目事典の解説

単連結
たんれんけつ
simply connected

単一連結ともいう。領域 S の内部に書かれた任意の閉曲線 C が,S 内で1点にまで連続的に変形できるとき,すなわち1点に収縮できるとき,S は単連結であるという。図において,領域 S1,0 は単連結であるが,領域 S2,0 は単連結ではない。なぜならば,S2,0 の内部に図のような閉曲線 C をとると,これが1点に収縮するには,この C は必ず同心円の中心を通らなければならず,しかも同心円の中心は S2,0 に含まれているからである。しかし領域 S2,0 に1つの切れ目を入れて領域 S2,1 をつくると,S2,1 は単連結になる。また領域 S3,0 は単連結でないが,これは図のような2つの切れ目を入れて領域 S3,2 をつくると,これも単連結になる。一般に n-1 個の穴をもつ領域 Sn,0 は単連結でないが,境界から境界へ互いに交わらないような n-1 個の切れ目を入れてこれを単連結の領域 Sn,n-1 にすることができる。このような領域 Sn,0n 重連結という。 S2,0 は二重連結,S3,0 は三重連結である。一般に単連結でない領域を総称して多重連結という。3次元以上の空間の領域については,上記の定義をそのまま適用することもあるが,通例は条件を強めてすべての次元のホモトピー群が単位元のみからなるときに限って単連結と呼ぶことが多い。

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世界大百科事典内の単連結の言及

【連結】より

…連結な位相空間の連続写像による像はまた連結である。弧状連結な位相空間X上のどんな閉曲線もX上で1点に縮まるとき,Xは単連結であるという。例えば,円板や球面は単連結であるが,それらに穴をあけると単連結でなくなる(図2)。…

※「単連結」について言及している用語解説の一部を掲載しています。

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