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対称式 たいしょうしきsymmetric form

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ブリタニカ国際大百科事典 小項目事典の解説

対称式
たいしょうしき
symmetric form

変数 X1X2 ,…,Xn の多項式 f(X1X2 ,…,Xn) が X1X2 ,…,Xn の置換で変らないとき,対称式という。3変数 abc でいえば,abcbccaababc などは対称式である。

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世界大百科事典 第2版の解説

たいしょうしき【対称式 symmetric expression】

n変数の多項式,において,変数x1,x2,……,xnをどのように置換しても各多項式は変わらない。このような多項式を対称式という。対称式には上記以外にもx12x22+……+xn2などたくさんあるが,すべての対称式はσ1,σ2,……,σnの多項式で書ける。例えば,x12x22+……+xn2=σ12-2σ2である。これからわかるようにσ1,σ2,……,σnは基本的なものであり,基本対称式と呼ばれる。一般に体k上の多項式環k[x1,……,xn]に群Gが作用している(α∈G,f(x1,……,xn)∈k[x1,……,xn]に対して,多項式(αf)(x1,……,xn)が定まり,f→αfは環準同型,(αβ)f=α(βf),単位元eについてはeff,∀α∈G,∀akaa)のとき,∀α∈Gについてαffとなる元をGの作用についての不変式といい,その全体をk[x1,……,xn]Gと書く。

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日本大百科全書(ニッポニカ)の解説

対称式
たいしょうしき

2個以上のn個の変数X1、……、Xnの多項式

が、任意の1≦ijnなるijに対し、fに現れるXiXjを互いに他と置き換えても、多項式として変わらないとき、つまり
  f(X1,……,Xi,……
   ,Xj,……,Xn)
   =f(X1,……,Xj,……
   ,Xi,……,Xn)
のとき、fを対称式という。

は、対称式である。さらに、任意のn変数の対称式は、これらn個の対称式S1、……、Snの多項式で表される。この意味で、S1、……、Snn変数の基本対称式という。たとえば、三変数の基本対称式は、
  S1=X1+X2+X3,
  S2=X1X2+X1X3+X2X3,
  S3=X1X2X3
で、X12+X22+X32=S12-2S2
となる。
 n変数の対称式fは、1、2、……、nの任意の置換σに対し、
  f(Xσ(1),Xσ(2),……,Xσ(n))
   =f(X1,X2,……,Xn)
を満たす。また、多項式fが対称式であることを示すには、i=1,2,……,n-1に対し、XiXi+1を互いに他と置き換えて、変わらないことを確かめればよい。
 多項式f(X)=Xn+a1Xn-1+……+an-1X+anの根をα1、……、αnとすると、いわゆる根と係数との関係式
  aj=(-1)jSj1,……,αn)
   (j=1,……,n)
が成り立つ。このように、対称式は広く応用されている。[菅野恒雄]

出典|小学館 日本大百科全書(ニッポニカ)
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