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直和 ちょくわdirect sum

ブリタニカ国際大百科事典 小項目事典の解説

直和
ちょくわ
direct sum

(1) 集合に関して 集合 AB との和集合というときに,ABX の場合の合併をさす場合もあるが,AB を重なりを考えずに並べたものをいう場合もある。これを合併集合と区別するために直和ということもある。転じて,部分集合の合併についても,AB=φ の場合に限って直和ということもある。 (2) 可換群に関して 加法に関する結合法をもつ可換群を G ,その部分群を G1G2 とする。もし任意の元 xGx1G1 および x2G2 によって,xx1x2 の形に一意的に書けるとき,GG1G2 の直和であるといわれ,これを G1G2 で表わす。 (3) ベクトル空間に関して ベクトル空間の算法は加法なので,直積のことを直和ということもある。 (4) ベクトル空間の部分空間に関して 体 K の上のベクトル空間を V ,その部分空間を V1V2 とする。もし V のおのおの元 x が,x1V1 および x2V2 によって,一意的に xx1x2 と書けるとき,VV1V2 の直和であるといい,これを V1V2 で表わす。一般にも,V1V2={x1x2x1V1x2V2} と書くが,これは V1V2 の直和 (直積) と同型とはかぎらない。それで特に,同型になる場合を直和というのである。

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世界大百科事典 第2版の解説

ちょくわ【直和 direct sum】

数学用語。
[集合の直和]
 一つの集合Mが共通部分をもたない部分集合A,Bの和集合のとき,MABの直和であるという。共通元をもつかもしれない二つの集合A,Bについて,Aと1対1対応をもつ集合A′を作って,A′とBが共通元をもたないようにして,A′∪Bを作り,これもABの直和といい,ABで表す。多くの集合についても同様に考える。
加法群,または環の直和]
 G1,G2が加法群,または環のとき,集合としての直積G1×G2={(a,b)|aG1,bG2}に(a,b)+(a′,b′)=(aa′,bb′)で加法を定義し,環のときはさらに(a,b)(a′,b′)=(aa′,bb′)で乗法を定義すれば,G1×G2も加法群,または環になる。

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世界大百科事典内の直和の言及

【直積】より

…すべてのAλが単位元をもつときは,も単位元をもつ。{Aλλ∈Aの加法群としての制限直積はの部分環となり,{Aλλ∈Aの直和ともいわれる。【丸山 正樹】。…

※「直和」について言及している用語解説の一部を掲載しています。

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