二つの集合A1,A2が与えられたとき,A1の元とA2の元の組の集合{(a1,a2)|a1∈A1,a2∈A2}をA1とA2の直積集合といい,A1×A2で表す。各(a1,a2)∈A1×A2にai∈Ai(i=1,2)を対応させる写像piをA1×A2からAiへの射影という。より一般に集合Λで添字づけられた集合の集り{Aλ}λΛについて,集合{(……,aμ,……,aλ,……)|aλ∈Aλ}を{Aλ}λΛの直積とよんで,で表す。から各Aλへの射影pλも二つの集合のときと同様に定める。各Aλが群のときの積を(……,aμ,……,aλ,……)(……,bμ,……,bλ,……)=(……,aμbμ,……,aλbλ,……)で定めればは群になり,各pλは群の準同型である。 の部分集合 有限個のλを除いてaλは単位元}はの正規部分群となる。これを{Aλ}λΛの制限直積という。各Aλが環のとき,(……,aμ,……,aλ,……)+(……,bμ,……,bλ,……)=(……,aμ+bμ,……,aλ+bλ,……),(……,aμ,……,aλ,……)(……,bμ,……,bλ,……)=(……,aμbμ,……,aλbλ,……)で算法を定めればは環になる。すべてのAλが単位元をもつときは,も単位元をもつ。{Aλ}λΛの加法群としての制限直積は,の部分環となり,{Aλ}λΛの直和ともいわれる。
執筆者:丸山 正樹
出典 株式会社平凡社「改訂新版 世界大百科事典」改訂新版 世界大百科事典について 情報
出典 ブリタニカ国際大百科事典 小項目事典ブリタニカ国際大百科事典 小項目事典について 情報
A、Bを二つの集合とする。
(x,y),x∈A,y∈B
という形式の全体Cを考え、
(x,y)=(x′,y′)⇔x=x′,y=y′
と定義する。このときCを集合AとBの直積といい、A×Bと記す。たとえば、実数直線をRとするとき、平面はR×Rと考えられる。これが座標平面の考え方である。三つ以上の集合の直積も同様に考えられる。
さらに、Aλ (λ∈Λ)を集合の族(集まり)とする。形式
(xλ)λ∈Λ, xλ∈A
(λ∈Λ)
の全体を考えて、Aλ (λ∈Λ)の直積といい、
と記す。もちろん、
(xλ)λ∈Λ=(yλ)λ∈Λ
⇔xλ=yλ (λ∈Λ)
とする。
直積は公理的集合論において厳密に定義される。写像の概念は直積の概念から定義されるのが普通である。とくにA、Bが群(他の代数系でもよい)であるとする。(x1,y1),(x2,y2)を直積A×Bの二元とするとき
(x1,y1)・(x2,y2)=(x1x2,y1y2)
により積を定義するならば、A×Bはふたたび群となる。これを群A、Bの直積という。とくにA、Bが加群のときは直和とよばれ、A⊕Bのように記されることが多い。
[足立恒雄]
…ここで,集合算というのは,∩,∪を集合間の演算と考えたことをいうのである。
[直積]
二つの集合A,Bが与えられたとき,Aの元とBの元の組の集合{(a,b)|a∈A,b∈B}をAとBの直積(または直積集合)といい,A×Bで表す。これは集合{1,2}から,A∪Bの中への写像fで,f(1)∈A,f(2)∈Bを満たすものの全体Tを取ると,Tの元fとA×Bの元(f(1),f(2))との対応によって,TとA×Bとの1対1対応が得られる。…
※「直積」について言及している用語解説の一部を掲載しています。
出典|株式会社平凡社「世界大百科事典(旧版)」
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