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直積 ちょくせきdirect product

ブリタニカ国際大百科事典 小項目事典の解説

直積
ちょくせき
direct product

最近では単に積 product ということも多い。 (1) 集合に関して 2つの集合 AB に対して,aAbB であるあらゆる ab の組 (ab) によってつくられる集合を AB の積,直積あるいは積集合といい,A×B で表わす。すなわち内包的記法で書けば,A×B={(ab)|aAbB} である。また一般に n 個の集合 A1A2 ,…,An に対して Πi=1nAiA1×A2×…×An={(a1a2,…,an)|a1A1a2A2,…,anAn} を,それらの集合の直積と定義する。無限個の集合に対しても,同様に定義することができる。 (2) 群に関して  G1G2 を群とし,x1G1x2G2 であるすべての対 (x1x2) の集合を G1×G2 とする。いま (x1x2) および (x'1x'2) を G1×G2 の元とするとき,これら2元の積を (x1x'1x2x'2) なる対と定義すれば,G1×G2 はまた群となる。こうして群の構造を与えられた G1×G2G1G2 の積あるいは直積と呼ぶ。一般に集合 AB が代数的構造をもつ場合は,A×B にも同じ代数的構造を与えることができれば,その A×BAB の積あるいは直積という。 (3) ベクトル空間に関して  V1V2 を任意のベクトル空間,v1V1v2V2 である,すべての対 (v1v2) の集合を V1×V2 とする。いま,2つの対 (v1v2) および (v'1v'2) をともに V1×V2 の元とするとき,和を (v1v2)+(v'1v'2)=(v1v'1v2v'2) ,また体 K の任意の元 a に対して,積を c(v1v2)=(cv1cv2) と定義すれば,V1×V2 はまたベクトル空間になる。このとき V1×V2V1V2 の直積と呼ぶ。

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世界大百科事典 第2版の解説

ちょくせき【直積 direct product】

二つの集合A1,A2が与えられたとき,A1の元とA2の元の組の集合{(a1,a2)|a1A1,a2A2}をA1A2の直積集合といい,A1×A2で表す。各(a1,a2)∈A1×A2aiAi(i=1,2)を対応させる写像piA1×A2からAiへの射影という。より一般に集合Λで添字づけられた集合の集り{Aλλ∈Aについて,集合{(……,aμ,……,aλ,……)|aλAλ}を{Aλλ∈Aの直積とよんで,で表す。

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大辞林 第三版の解説

ちょくせき【直積】

二つの集合 A B について、それぞれの要素 a b を組にして表したもの(a , b )がつくる集合。A ×B で表す。

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日本大百科全書(ニッポニカ)の解説

直積
ちょくせき

A、Bを二つの集合とする。
  (x,y),x∈A,y∈B
という形式の全体Cを考え、
  (x,y)=(x′,y′)⇔x=x′,y=y′
と定義する。このときCを集合AとBの直積といい、A×Bと記す。たとえば、実数直線をRとするとき、平面はR×Rと考えられる。これが座標平面の考え方である。三つ以上の集合の直積も同様に考えられる。
 さらに、Aλ (λ∈Λ)を集合の族(集まり)とする。形式
  (xλ)λ∈Λ, xλ∈A
   (λ∈Λ)
の全体を考えて、Aλ (λ∈Λ)の直積といい、

と記す。もちろん、
  (xλ)λ∈Λ=(yλ)λ∈Λ
   ⇔xλ=yλ (λ∈Λ)
とする。
 直積は公理的集合論において厳密に定義される。写像の概念は直積の概念から定義されるのが普通である。とくにA、Bが群(他の代数系でもよい)であるとする。(x1,y1),(x2,y2)を直積A×Bの二元とするとき
  (x1,y1)・(x2,y2)=(x1x2,y1y2)
により積を定義するならば、A×Bはふたたび群となる。これを群A、Bの直積という。とくにA、Bが加群のときは直和とよばれ、ABのように記されることが多い。[足立恒雄]

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世界大百科事典内の直積の言及

【集合】より

…ここで,集合算というのは,∩,∪を集合間の演算と考えたことをいうのである。
[直積]
 二つの集合A,Bが与えられたとき,Aの元とBの元の組の集合{(a,b)|aA,bB}をABの直積(または直積集合)といい,A×Bで表す。これは集合{1,2}から,ABの中への写像fで,f(1)∈A,f(2)∈Bを満たすものの全体Tを取ると,Tの元fA×Bの元(f(1),f(2))との対応によって,TA×Bとの1対1対応が得られる。…

※「直積」について言及している用語解説の一部を掲載しています。

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