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直積 ちょくせき direct product

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ブリタニカ国際大百科事典 小項目事典の解説

直積
ちょくせき
direct product

最近では単に積 product ということも多い。 (1) 集合に関して 2つの集合 AB に対して,aAbB であるあらゆる ab の組 (ab) によってつくられる集合を AB の積,直積あるいは積集合といい,A×B で表わす。

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世界大百科事典 第2版の解説

ちょくせき【直積 direct product】

二つの集合A1,A2が与えられたとき,A1の元とA2の元の組の集合{(a1,a2)|a1A1,a2A2}をA1A2の直積集合といい,A1×A2で表す。各(a1,a2)∈A1×A2aiAi(i=1,2)を対応させる写像piA1×A2からAiへの射影という。より一般に集合Λで添字づけられた集合の集り{Aλλ∈Aについて,集合{(……,aμ,……,aλ,……)|aλAλ}を{Aλλ∈Aの直積とよんで,で表す。

出典|株式会社日立ソリューションズ・クリエイト
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大辞林 第三版の解説

ちょくせき【直積】

二つの集合 A B について、それぞれの要素 a b を組にして表したもの(a , b )がつくる集合。A ×B で表す。

出典|三省堂
(C) Sanseido Co.,Ltd. 編者:松村明 編 発行者:株式会社 三省堂 ※ 書籍版『大辞林第三版』の図表・付録は収録させておりません。 ※ それぞれの用語は執筆時点での最新のもので、常に最新の内容であることを保証するものではありません。

日本大百科全書(ニッポニカ)の解説

直積
ちょくせき

A、Bを二つの集合とする。
  (x,y),x∈A,y∈B
という形式の全体Cを考え、
  (x,y)=(x′,y′)⇔x=x′,y=y′
と定義する。このときCを集合AとBの直積といい、A×Bと記す。たとえば、実数直線をRとするとき、平面はR×Rと考えられる。これが座標平面の考え方である。三つ以上の集合の直積も同様に考えられる。
 さらに、Aλ (λ∈Λ)を集合の族(集まり)とする。形式
  (xλ)λ∈Λ, xλ∈A
   (λ∈Λ)
の全体を考えて、Aλ (λ∈Λ)の直積といい、

と記す。もちろん、
  (xλ)λ∈Λ=(yλ)λ∈Λ
   ⇔xλ=yλ (λ∈Λ)
とする。
 直積は公理的集合論において厳密に定義される。写像の概念は直積の概念から定義されるのが普通である。とくにA、Bが群(他の代数系でもよい)であるとする。(x1,y1),(x2,y2)を直積A×Bの二元とするとき
  (x1,y1)・(x2,y2)=(x1x2,y1y2)
により積を定義するならば、A×Bはふたたび群となる。これを群A、Bの直積という。とくにA、Bが加群のときは直和とよばれ、ABのように記されることが多い。[足立恒雄]

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世界大百科事典内の直積の言及

【集合】より

…ここで,集合算というのは,∩,∪を集合間の演算と考えたことをいうのである。
[直積]
 二つの集合A,Bが与えられたとき,Aの元とBの元の組の集合{(a,b)|aA,bB}をABの直積(または直積集合)といい,A×Bで表す。これは集合{1,2}から,ABの中への写像fで,f(1)∈A,f(2)∈Bを満たすものの全体Tを取ると,Tの元fA×Bの元(f(1),f(2))との対応によって,TA×Bとの1対1対応が得られる。…

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