空間曲線(読み)くうかんきょくせん(英語表記)space curve

ブリタニカ国際大百科事典 小項目事典の解説

空間曲線
くうかんきょくせん
space curve

普通の空間すなわち3次元ユークリッド空間内に含まれる曲線のことである。空間内に直交座標系O- xyz を定める。曲線は,この空間内を点Pが動いたときの軌跡と考えられるから,定点を原点Oにとってこの軌跡の上の任意の点の位置ベクトルを x とすれば,x は媒介変数 t ( atb ) の関数と考えることができる。それゆえ空間曲線は,xx(t) という形の関数で表わすことができる。ここでベクトル x および x(t) の成分を,それぞれ,(x1x2x3) および (x1(t),x2(t),x3(t)) で表わせば,曲線は x1x1(t),x2x2(t),x3x3(t) と書くこともできる。以上のような曲線の表わし方を,曲線の媒介変数表示あるいはパラメータ表示という。曲線を運動する点Pの軌跡と考えれば,媒介変数 t は時刻,x(t) あるいは (x1(t),x2(t),x3(t)) はその時刻 t における点Pの位置とみなすことができる。 xx(t) を,座標系の定められた空間 (数空間ということがある) の曲線とすれば,x1x1(t),x2x2(t),x3x3(t) はすべて連続関数であるが,特にこれらすべてが連続導関数をもてば,この曲線 xx(t) はなめらかな曲線であるという。微分幾何学では,曲線 C を表わす3つの関数 xixi(t)(i=1,2,3) がいずれも,(1) 区間 atb において連続な一価関数であり,(2) 区間 atb において r 階の連続な導関数をもち,(3) 区間 atb においてそれらの導関数が同時には0にならないとき,この曲線を r 級の曲線といい,Cr で表わす。

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デジタル大辞泉の解説

くうかん‐きょくせん【空間曲線】

三次元空間における曲線。一つの平面上には含まれない曲線をいう。

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世界大百科事典内の空間曲線の言及

【曲線】より

yexy=sin xのグラフとして現れる指数曲線や正弦曲線は超越曲線である。
[空間曲線]
 空間内の曲線を空間曲線という。空間の点を直交座標を用いて(x,y,z)で表すとき,平面曲線のときと同様に,空間曲線はf,g,hをある区間で定義された関数として,xf(t),yg(t),zh(t)のように媒介変数表示される。…

※「空間曲線」について言及している用語解説の一部を掲載しています。

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