面積分（読み）めんせきぶん（英語表記）surface integral

改訂新版　世界大百科事典

面積分 (めんせきぶん)
surface integral

xyz空間で滑らかな曲面Sが媒介変数u，vによりx＝x（u，v），y＝y（u，v），z＝z（u，v）（α≦u≦β，γ≦v≦δ）と表されているとする。ここで，

　E＝（x_u）²＋（y_u）²＋（z_u）²

　F＝x_ux_v＋y_uy_v＋z_uz_v

　G＝（x_v）²＋（y_v）²＋（z_v）²

　（ただし，例えばx_u，x_vは∂x/∂u，∂x/∂vを表す）

とおくと，曲面Sの上での面積要素はで与えられる。f（x，y，z）をS上で定義された連続関数とし，

　g（u，v）≡f（x（u，v），y（u，v），

　　z（u，v））

とおく。このとき，と定義し，これをfのS上での面積分という。とくに曲面Sがz＝φ（x，y）（（x，y）∈D）で与えられているときは，この面積分は，で与えられる。
執筆者：伊藤 清三

出典　株式会社平凡社「改訂新版　世界大百科事典」

日本大百科全書(ニッポニカ)

面積分
めんせきぶん
surface integral

三次元空間において、曲面x=x(u,v),y=y(u,v),z=z(u,v)が与えられたとして、この曲面を含む空間内の一つの領域Dにおいて定義された連続関数f(x,y,z)があるとき、これをこの曲面上で積分することを考える。

　いま、u、vがu‐v平面内のある領域Mを動くとき、対応して曲面上の部分S_Mが描かれるものとする。Mを細かい網目(あみめ)に分割し（平面上の面積を考えたときのように）、対応して得られる曲面上の小部分S_kと、S_k内の一点P_kをとって、Σf(P_k)S_kを考えると、これは網目を一様に細かくしていくとき、ある極限値に収束する。この値をf(x,y,z)の曲面S_M上における面積分といって、

で表す。次に、

という形の面積分を定義する。そのために、この曲面の各点における単位法線ベクトルをn=(λ,μ,ν)とする。そして

と定める。dzdx,dxdyに関する積分は、λをそれぞれμ、νで置き換えたものとする。

［竹之内脩］

ガウスの定理

空間内の有界な領域DでC¹級関数（連続な偏導関数を有する関数）f(x,y,z)が与えられているとする。D内に、閉曲面Sによって囲まれた部分領域Vを考えるとき、

などが成り立つ。

　これは、線積分の場合のグリーンの公式に対応するものであり、重積分の計算において重要である。また、ストークスの定理とよばれる定理も著名でよく用いられる。

［竹之内脩］

[参照項目] | 重積分

出典　小学館　日本大百科全書(ニッポニカ)

ブリタニカ国際大百科事典 小項目事典

面積分
めんせきぶん
surface integral

曲面に沿う微分式の積分のことをいう。たとえば3次元空間で，曲面 S：x＝f(u，v) ，y＝g(u，v) ，z＝h(u，v) ((u，v)∈D) があるとき，
が考えられるので，微分式 Fdydz＋Gdzdx＋Hdxdy に対して，
として，この微分式の積分が考えられる。これをこの微分式の S の上での面積分という。また面素 dS²＝(dydz)²＋(dzdx)²＋(dxdy)² に対して，密度 F を積分したものとして
を考えることができる。特に
が，曲面 S の面積である。

出典　ブリタニカ国際大百科事典 小項目事典