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線積分 せんせきぶんcurvilinear integral

ブリタニカ国際大百科事典 小項目事典の解説

線積分
せんせきぶん
curvilinear integral

曲線積分ともいう。空間内のある領域において関数 P(xyz) が連続で,またその領域においてなめらかな曲線 Cx=(t),y=(t),z=(t) が与えられているとき,積分
が存在するならば,これを C に沿う P(xyz) の x に関する線積分といい,
と書く。後者は C が閉曲線の場合である。 yz に関する線積分も同様に定義され,上の式の dxdy あるいは dz で置き換えればよい。また,線素 ds2dx2dy2dz2 を考えるとき,密度 P に対して線積分 が定義できる。特に はこの曲線 C の長さになる。

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世界大百科事典 第2版の解説

せんせきぶん【線積分 curvilinear integral】

xy平面の上の一つの連続曲線Cx=φ(t),y=ψ(t)(α≦t≦β)があって,C上で関数f(x,y)が定義されているとき,tの関数f(φ(t),ψ(t))のスティルチェス積分を,fCに沿ってのxに関する線積分といい,または単に,と書く。同様にfyに関する線積分,も定義される。とくにφ(t)が連続微分可能なら,となって,ふつうの積分の計算になる。またφ(t),ψ(t)が連続微分可能のとき,fCに沿っての線素に関する線積分といい,と書く。

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日本大百科全書(ニッポニカ)の解説

線積分
せんせきぶん

曲線に沿って行う積分のことで、曲線積分ともいう。いま、Lは2点A、Bを結ぶ長さのある曲線とする。L上での関数f(P)の線積分

を次のように定める。A、Bの間の曲線の部分に順に数多くの点P1,P2,……,Pn-1(A=P0,B=Pnとする)をとり、またP0,P1の間に点Q1、P1,P2の間に点Q2、……、Pn-1,Pnの間に点Qnをとり(図A)、和

を考える。ここでは、Pk-1,Pkを結ぶ線分の長さである。点P1,P2,……,Pn-1,Q1,Q2,……,Qnのとり方をいろいろに変えるとき、どのようにそれらをとっても、これらの点をL上密になるようにしていったとき、ある極限値に収束するならば、この極限値を前記線積分(*)の値と定義する。f(P)がLを含むような平面のある部分において有界連続ならば、線積分は存在する。線積分の近似和において、を、たとえば、各点のx座標の差xk-xk-1で置き換えて、

を考え、これの極限値として線積分

が定義される。同様に、線積分

も定められる。たとえば、平面上の長さのある単純閉曲線Lで囲まれた部分(図B)の面積をSとすれば、

 平面上の有界な領域Dの境界が、区分的に滑らかな有限個の単純閉曲線C1,C2,……,Cmからなるとする(図C)。これらの境界の曲線は、すべてDの内部を左側に見ながら回る向きをつけてあるものとし、まとめてCで表す。いま、f(x,y),g(x,y)が、D上境界も含めた範囲でC1級関数(連続な偏導関数を有する関数)ならば、次の式が成立する。

これをグリーンの定理という。[竹之内脩]

複素関数の線積分

線積分の近似和におけるを、各点を表す複素数の差zk-zk-1で置き換えて

(Zk′はQkに対応する複素数)とし、これの極限値として、

が定義される。コーシーの積分定理

および、コーシーの積分公式

などは、この線積分を用いたものである。[竹之内脩]

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