p進数（読み）ぴーしんすう

日本大百科全書(ニッポニカ)

p進数
ぴーしんすう

pを一つの素数とする。r_iを0≦r_i＜pのような整数とするとき、無限級数

をp進数という。aを正の整数とすると、aは
　　a=r₀+r₁p+……+r_mp^m
　　　(0≦r_i＜p)
と表されるので、p進数の特別の場合とみることができる。たとえば、p=7のとき、
　　121=2+17・7=2+(3+2・7)・7
　　　　=2+3・7+2・7²
負の整数を有限和で表すことはできない。しかし、無限級数の形に表そうとするなら、それは可能である。たとえば、
　　-3=4+(-1)・7
　　　　=4+6・7+(-1)・7²
　　　　=4+6・7+6・7²+6・7³+……
分母bがpで割り切れない分数1/bも、無限級数の形にすることができる。たとえば、
　　1=4・2+(-1)・7=4・2+4・5・7+(-3)・7²
　　　=4｛2+5・7+1・7²+(-1)・7³｝=……
となるから、
　　1/4=2+5・7+1・7²+……
これは右辺をr₀+r₁p+r₂p²+……と置き、順にr₀、r₁、……を定めてもよい。

　一般に有理数は
　　a=p^s(r₀+r₁p+r₂p²+……)
と無限級数で表される。この右辺の形の無限級数をp進数というのである。有理数はp進数であるが、p進数は有理数を表すとは限らない。p進数の全体は可換体をつくり、これをp進体という。整数論の研究のために考え出されたものである。

［寺田文行］

出典　小学館　日本大百科全書(ニッポニカ)

改訂新版　世界大百科事典

進数 (ピーしんすう)
p-adic number

20世紀初頭，ヘンゼルK.Hensel（1861-1941）によって数の一つの拡張として考案され，その考えは，代数学，整数論において広く用いられている。一つ素数を定め，それをpで表す。pに対し形式的に，

という有限または無限級数の形で表されるものをp進数という。とくに，負べきの項の係数がすべて0のものをp進整数という。二つのp進整数α＝a₀＋a₁p＋……＋a_npⁿ＋……，β＝b₀＋b₁p＋……＋b_npⁿ＋……と自然数mに対し，m′≧mならば，a₀＋……＋am′p^m′とb₀＋……＋bm′p^m′の和のp進展開のp^mまでの係数は，m′の取り方によらない。αとβの和は，任意のmに対して，p^mまでの係数が上で決まるものとして定められる。同様にして，二つのp進数の和，積が定められ，p進整数全体は，p進整環と呼ばれる環をなし，p進数全体はp進数体と呼ばれる体をなす。
執筆者：斎藤 裕

出典　株式会社平凡社「改訂新版　世界大百科事典」