分散分析法（読み）ぶんさんぶんせきほう（その他表記）analysis of variance

日本大百科全書(ニッポニカ)

分散分析法
ぶんさんぶんせきほう
analysis of variance

分散分析法は、フィッシャーによって開発された方法で、農学実験に関する複雑な原因の分析に対して効果的に用いられた。この方法は広い範囲で応用されている。ここではもっとも簡単な場合の例として、この方法を平均の均一性の検定の問題に応用する。

　r個の正規母集団をP₁、P₂、……、P_rとし、P_iの分布を平均値m_i、分散σ²の正規分布N(m_i,σ²)とする。ここでσ²は各P_iについて同一であるが、その値は未知とする。

　「r個のm_iはすべて等しい」という仮説をHで表し、この仮説の検定を行う。

P_iからの無作為抽出による標本を
　｛x_i1,x_i2,……,x_ini｝
　 n=n₁+n₂+……+n_r
と置く。ここで

とし、

と置くと、qはq₁とq₂の和である(q=q₁+q₂)。qを総平方和という。

　ここでX_ijは確率変数の実現値であるが、確率変数とみることにする。そうするとq₁、q₂、qも確率変数となる。このとき、次の定理が成り立つ。

　「仮説Hの下では、q₁とq₂は独立であって、q/σ²,q₁/σ²,q₂/σ²の分布はそれぞれ自由度n-1,r-1,n-rのχ²分布である」。したがって

の平均値はどれもσ²に等しいことがわかる。また次の定理がある。

「
の分布は自由度r-1,n-1のF分布である」。

　この定理に基づいて仮説Hの検定を行うことができる。すなわち、F分布の表を利用してzがλより大きい確率が0.01となるようなλを定めると、
　z＞λのとき仮説Hは捨てられ、
　z≦λのとき仮説Hは捨てられない
ということになる。

　分散分析法では、表（分散分析表）の形に整理しておくのが普通である。

［古屋　茂］

分散分析表

出典　小学館　日本大百科全書(ニッポニカ)