収束半径（読み）しゅうそくはんけい（その他表記）convergence radius

改訂新版　世界大百科事典

収束半径 (しゅうそくはんけい)
convergence radius

a₀，a₁，a₂，……を複素数の定数，zを複素数の変数とするとき，の形の級数をべき級数という。べき級数P（z）がz＝z₀で収束すれば｜z｜＜｜z₀｜なるすべてのzに対して絶対収束する。このような｜z₀｜の上限をRとすると，P（z）は｜z｜＜Rなるすべてのzで絶対収束し，｜z｜＞Rなるすべてのzで発散する。このようなRをべき級数P（z）の収束半径という。P（z）がz＝0以外で発散するときはR＝0とする。収束半径を求める公式として（lim supは上極限）がある。ただし1/∞＝0，1/0＝∞とする。これをコーシー=アダマールの公式という。なお，もしもが存在すれば，これが収束半径である。例えば，についてはR＝0，については，いずれもR＝1，についてはR＝∞。
執筆者：伊藤 清三

出典　株式会社平凡社「改訂新版　世界大百科事典」

ブリタニカ国際大百科事典 小項目事典

収束半径
しゅうそくはんけい
radius of convergence

z を変数とするべき級数
が z＝z₀ で収束すれば，P は ｜z｜＜｜z₀｜ であるすべての z について収束する。このような値 ｜z₀｜ の上界 ζ を収束半径といい，円周 ρ＝｜z｜ または円の内部 ρ＞｜z｜ を収束円という。このとき P は ρ＜｜z｜ なる z について発散する。 ρ＝＋∞ のとき P は任意の z について収束し，ρ＝0 のときには z＝0 以外のすべての z について発散する。収束半径はコーシー＝アダマールの定理により
で与えられる。

出典　ブリタニカ国際大百科事典 小項目事典

世界大百科事典（旧版）内の収束半径の言及

【べき級数(冪級数)】より

…　微積分学ではc,a_n,zが実数に限られたものを扱うが，そのときも，zは複素数に拡張して考えたほうが利点が多い。　与えられたべき級数において，それが収束するようなzに対する｜z－c｜の上限ρを収束半径といい，円｜z－c｜＝ρを収束円という。次の公式(コーシー=アダマールの公式Cauchy‐Hadamard’s formula)がある。…

※「収束半径」について言及している用語解説の一部を掲載しています。

出典｜株式会社平凡社「世界大百科事典（旧版）」